Los 3x^2-4x-9=0 op

$$3 { x }^{ 2 } -4x-9=0$$

Oplossen voor x

$$x = \frac{\sqrt{31} + 2}{3} \approx 2,522588121$$

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}\approx -1,189254788$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 3 voor a, -4 voor b en -9 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Bereken de wortel van -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Vermenigvuldig -4 met 3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-9\right)}}{2\times 3}$$

Vermenigvuldig -12 met -9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+108}}{2\times 3}$$

Tel 16 op bij 108.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{124}}{2\times 3}$$

Bereken de vierkantswortel van 124.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Het tegenovergestelde van -4 is 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{2\times 3}$$

Vermenigvuldig 2 met 3.

$$x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} op als ± positief is. Tel 4 op bij 2\sqrt{31}.

$$x=\frac{2\sqrt{31}+4}{6}$$

Deel 4+2\sqrt{31} door 6.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{4±2\sqrt{31}}{6} op als ± negatief is. Trek 2\sqrt{31} af van 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{31}}{6}$$

Deel 4-2\sqrt{31} door 6.

$$x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-4x-9=0$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 9 op.

$$3x^{2}-4x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Als u -9 aftrekt van zichzelf, is de uitkomst 0.

$$3x^{2}-4x=-\left(-9\right)$$

Trek -9 af van 0.

$$3x^{2}-4x=9$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 3.

$$\frac{3x^{2}-4x}{3}=\frac{9}{3}$$

Delen door 3 maakt de vermenigvuldiging met 3 ongedaan.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{9}{3}$$

Deel 9 door 3.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=3$$

Deel -\frac{4}{3}, de coëfficiënt van de x term door 2 om -\frac{2}{3} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van -\frac{2}{3} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=3+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van -\frac{2}{3} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=3+\frac{4}{9}$$

Tel 3 op bij \frac{4}{9}.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{31}{9}$$

Factoriseer x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{31}{9}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{9}}$$

Vereenvoudig.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{31}}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{31}}{3}$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{2}{3} op.

$$x=\frac{\sqrt{31}+2}{3} x=\frac{2-\sqrt{31}}{3}$$