Los 2x^2-4x+1<0 op

$$2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 < 0$$

Oplossen voor x

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Als u de ongelijkheid wilt oplossen, factoriseert u de linkerkant. Kwadratische polynoom kan worden gefactoriseerd met de transformatie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), waarbij x_{1} en x_{2} de oplossingen van de kwadratische vergelijking ax^{2}+bx+c=0 zijn.

$$2x^{2}-4x+1=0$$

Alle vergelijkingen met de notatie ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Vervang a door 2, b door -4 en c door 1 in de kwadratische formule.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Voer de berekeningen uit.

$$x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

De vergelijking x=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} oplossen wanneer ± plus en ± minteken is.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Herschrijf de ongelijkheid met behulp van de verkregen oplossingen.

$$2\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)<0$$

Het product kan alleen negatief zijn als x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) en x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) van het tegengestelde teken zijn. Bekijk de zaak wanneer x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) positief is en x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) negatief is.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Dit is onwaar voor elke x.

$$x\in \emptyset$$

Bekijk de zaak wanneer x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) positief is en x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) negatief is.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

De oplossing die voldoet aan beide ongelijkheden, is x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right).

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$

De uiteindelijke oplossing is de samenvoeging van de verkregen oplossingen.

$$x\in \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)$$