Los 18x^2-9x-5=0 op

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Oplossen voor x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Stappen bij factorisering door te groeperen

Als u de vergelijking wilt oplossen, verdeelt u de linker-en rechterkant van de groepering. De eerste, de linkerzijde moet worden herschreven als 18x^{2}+ax+bx-5. Als u a en b wilt zoeken, moet u een systeem instellen dat kan worden opgelost.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Omdat ab negatief is, a en b de tegenovergestelde tekens. Omdat a+b negatief is, heeft het negatieve getal een grotere absolute waarde dan de positieve. Alle paren met gehele getallen die een product -90 geven weergeven.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Bereken de som voor elk paar.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

De oplossing is het paar dat de som -9 geeft.

$$a=-15 b=6$$

Herschrijf 18x^{2}-9x-5 als \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Factoriseer 3x18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Factoriseer de gemeenschappelijke term 6x-5 door gebruik te maken van distributieve eigenschap.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Als u oplossingen voor vergelijkingen zoekt, lost u 6x-5=0 en 3x+1=0 op.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 18 voor a, -9 voor b en -5 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Bereken de wortel van -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Vermenigvuldig -4 met 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Vermenigvuldig -72 met -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Tel 81 op bij 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Bereken de vierkantswortel van 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Het tegenovergestelde van -9 is 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Vermenigvuldig 2 met 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{9±21}{36} op als ± positief is. Tel 9 op bij 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{30}{36} tot de kleinste termen door 6 af te trekken en weg te strepen.

$$x=\frac{5}{6}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{9±21}{36} op als ± negatief is. Trek 21 af van 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{-12}{36} tot de kleinste termen door 12 af te trekken en weg te strepen.

$$x=-\frac{1}{3}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 5 op.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Als u -5 aftrekt van zichzelf, is de uitkomst 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Trek -5 af van 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Delen door 18 maakt de vermenigvuldiging met 18 ongedaan.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{-9}{18} tot de kleinste termen door 9 af te trekken en weg te strepen.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Deel -\frac{1}{2}, de coëfficiënt van de x term door 2 om -\frac{1}{4} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van -\frac{1}{4} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van -\frac{1}{4} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Tel \frac{5}{18} op bij \frac{1}{16} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Factoriseer x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Vereenvoudig.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{1}{4} op.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$