Los 1000x^2-590x-561=0 op

$$1000 { x }^{ 2 } -590x-561=0$$

Oplossen voor x

$$x=-\frac{51}{100}=-0,51$$

$$x = \frac{11}{10} = 1\frac{1}{10} = 1,1$$

Stappen bij factorisering door te groeperen

Als u de vergelijking wilt oplossen, factoriseert u de linkerkant door te groeperen. De linkerkant moet eerst worden herschreven als 1000x^{2}+ax+bx-561. Als u a en b wilt zoeken, moet u een systeem instellen dat kan worden opgelost.

$$a+b=-590 ab=1000\left(-561\right)=-561000$$

Omdat ab negatief is, a en b de tegenovergestelde tekens. Omdat a+b negatief is, heeft het negatieve getal een grotere absolute waarde dan de positieve. Alle paren met gehele getallen die een product -561000 geven weergeven.

$$1,-561000 2,-280500 3,-187000 4,-140250 5,-112200 6,-93500 8,-70125 10,-56100 11,-51000 12,-46750 15,-37400 17,-33000 20,-28050 22,-25500 24,-23375 25,-22440 30,-18700 33,-17000 34,-16500 40,-14025 44,-12750 50,-11220 51,-11000 55,-10200 60,-9350 66,-8500 68,-8250 75,-7480 85,-6600 88,-6375 100,-5610 102,-5500 110,-5100 120,-4675 125,-4488 132,-4250 136,-4125 150,-3740 165,-3400 170,-3300 187,-3000 200,-2805 204,-2750 220,-2550 250,-2244 255,-2200 264,-2125 275,-2040 300,-1870 330,-1700 340,-1650 374,-1500 375,-1496 408,-1375 425,-1320 440,-1275 500,-1122 510,-1100 550,-1020 561,-1000 600,-935 660,-850 680,-825 748,-750$$

Bereken de som voor elk paar.

$$1-561000=-560999 2-280500=-280498 3-187000=-186997 4-140250=-140246 5-112200=-112195 6-93500=-93494 8-70125=-70117 10-56100=-56090 11-51000=-50989 12-46750=-46738 15-37400=-37385 17-33000=-32983 20-28050=-28030 22-25500=-25478 24-23375=-23351 25-22440=-22415 30-18700=-18670 33-17000=-16967 34-16500=-16466 40-14025=-13985 44-12750=-12706 50-11220=-11170 51-11000=-10949 55-10200=-10145 60-9350=-9290 66-8500=-8434 68-8250=-8182 75-7480=-7405 85-6600=-6515 88-6375=-6287 100-5610=-5510 102-5500=-5398 110-5100=-4990 120-4675=-4555 125-4488=-4363 132-4250=-4118 136-4125=-3989 150-3740=-3590 165-3400=-3235 170-3300=-3130 187-3000=-2813 200-2805=-2605 204-2750=-2546 220-2550=-2330 250-2244=-1994 255-2200=-1945 264-2125=-1861 275-2040=-1765 300-1870=-1570 330-1700=-1370 340-1650=-1310 374-1500=-1126 375-1496=-1121 408-1375=-967 425-1320=-895 440-1275=-835 500-1122=-622 510-1100=-590 550-1020=-470 561-1000=-439 600-935=-335 660-850=-190 680-825=-145 748-750=-2$$

De oplossing is het paar dat de som -590 geeft.

$$a=-1100 b=510$$

Herschrijf 1000x^{2}-590x-561 als \left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right).

$$\left(1000x^{2}-1100x\right)+\left(510x-561\right)$$

Factoriseer 100x in de eerste en 51 in de tweede groep.

$$100x\left(10x-11\right)+51\left(10x-11\right)$$

Factoriseer de gemeenschappelijke term 10x-11 door gebruik te maken van distributieve eigenschap.

$$\left(10x-11\right)\left(100x+51\right)$$

Als u oplossingen voor vergelijkingen zoekt, lost u 10x-11=0 en 100x+51=0 op.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 1000 voor a, -590 voor b en -561 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{\left(-590\right)^{2}-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Bereken de wortel van -590.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4\times 1000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Vermenigvuldig -4 met 1000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100-4000\left(-561\right)}}{2\times 1000}$$

Vermenigvuldig -4000 met -561.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{348100+2244000}}{2\times 1000}$$

Tel 348100 op bij 2244000.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±\sqrt{2592100}}{2\times 1000}$$

Bereken de vierkantswortel van 2592100.

$$x=\frac{-\left(-590\right)±1610}{2\times 1000}$$

Het tegenovergestelde van -590 is 590.

$$x=\frac{590±1610}{2\times 1000}$$

Vermenigvuldig 2 met 1000.

$$x=\frac{590±1610}{2000}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{590±1610}{2000} op als ± positief is. Tel 590 op bij 1610.

$$x=\frac{2200}{2000}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{2200}{2000} tot de kleinste termen door 200 af te trekken en weg te strepen.

$$x=\frac{11}{10}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{590±1610}{2000} op als ± negatief is. Trek 1610 af van 590.

$$x=-\frac{1020}{2000}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{-1020}{2000} tot de kleinste termen door 20 af te trekken en weg te strepen.

$$x=-\frac{51}{100}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}-590x-561=0$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 561 op.

$$1000x^{2}-590x-561-\left(-561\right)=-\left(-561\right)$$

Als u -561 aftrekt van zichzelf is de uitkomst 0.

$$1000x^{2}-590x=-\left(-561\right)$$

Trek -561 af van 0.

$$1000x^{2}-590x=561$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 1000.

$$\frac{1000x^{2}-590x}{1000}=\frac{561}{1000}$$

Delen door 1000 maakt de vermenigvuldiging met 1000 ongedaan.

$$x^{2}+\left(-\frac{590}{1000}\right)x=\frac{561}{1000}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{-590}{1000} tot de kleinste termen door 10 af te trekken en weg te strepen.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x=\frac{561}{1000}$$

Deel -\frac{59}{100}, de coëfficiënt van de x term door 2 om -\frac{59}{200} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van -\frac{59}{200} toe aan beide zijden van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerzijde van de vergelijking een perfect vier kant.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{561}{1000}+\left(-\frac{59}{200}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van -\frac{59}{200} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{561}{1000}+\frac{3481}{40000}$$

Tel \frac{561}{1000} op bij \frac{3481}{40000} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}=\frac{25921}{40000}$$

Factoriseer x^{2}-\frac{59}{100}x+\frac{3481}{40000}. In het algemeen, als x^{2}+bx+c een kwadraatgetal is, kan het altijd worden gefactoriseerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}=\frac{25921}{40000}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(x-\frac{59}{200}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25921}{40000}}$$

Vereenvoudig.

$$x-\frac{59}{200}=\frac{161}{200} x-\frac{59}{200}=-\frac{161}{200}$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{59}{200} op.

$$x=\frac{11}{10} x=-\frac{51}{100}$$