Los 10k^2+9k-1=0 op

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

Oplossen voor k

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Stappen bij factorisering door te groeperen

Als u de vergelijking wilt oplossen, verdeelt u de linker-en rechterkant van de groepering. De eerste, de linkerzijde moet worden herschreven als 10k^{2}+ak+bk-1. Als u a en b wilt zoeken, moet u een systeem instellen dat kan worden opgelost.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

Omdat ab negatief is, a en b de tegenovergestelde tekens. Omdat a+b positief is, heeft het positieve getal een grotere absolute waarde dan het negatieve getal. Alle paren met gehele getallen die een product -10 geven weergeven.

$$-1,10 -2,5$$

Bereken de som voor elk paar.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

De oplossing is het paar dat de som 9 geeft.

$$a=-1 b=10$$

Herschrijf 10k^{2}+9k-1 als \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

Factoriseer k10k^{2}-k.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Factoriseer de gemeenschappelijke term 10k-1 door gebruik te maken van distributieve eigenschap.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Als u oplossingen voor vergelijkingen zoekt, lost u 10k-1=0 en k+1=0 op.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 10 voor a, 9 voor b en -1 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Bereken de wortel van 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Vermenigvuldig -4 met 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

Vermenigvuldig -40 met -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

Tel 81 op bij 40.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

Bereken de vierkantswortel van 121.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

Vermenigvuldig 2 met 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Los nu de vergelijking k=\frac{-9±11}{20} op als ± positief is. Tel -9 op bij 11.

$$k=\frac{2}{20}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{2}{20} tot de kleinste termen door 2 af te trekken en weg te strepen.

$$k=\frac{1}{10}$$

Los nu de vergelijking k=\frac{-9±11}{20} op als ± negatief is. Trek 11 af van -9.

$$k=-\frac{20}{20}$$

Deel -20 door 20.

$$k=-1$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 1 op.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Als u -1 aftrekt van zichzelf, is de uitkomst 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

Trek -1 af van 0.

$$10k^{2}+9k=1$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 10.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

Delen door 10 maakt de vermenigvuldiging met 10 ongedaan.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

Deel \frac{9}{10}, de coëfficiënt van de x term door 2 om \frac{9}{20} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van \frac{9}{20} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van \frac{9}{20} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Tel \frac{1}{10} op bij \frac{81}{400} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Factoriseer k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Vereenvoudig.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking \frac{9}{20} af.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$