Los -4x^2+20x-47=0 op

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

Oplossen voor x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer -4 voor a, 20 voor b en -47 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Bereken de wortel van 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Vermenigvuldig -4 met -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Vermenigvuldig 16 met -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

Tel 400 op bij -752.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

Bereken de vierkantswortel van -352.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

Vermenigvuldig 2 met -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} op als ± positief is. Tel -20 op bij 4i\sqrt{22}.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

Deel -20+4i\sqrt{22} door -8.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} op als ± negatief is. Trek 4i\sqrt{22} af van -20.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

Deel -20-4i\sqrt{22} door -8.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 47 op.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

Als u -47 aftrekt van zichzelf, is de uitkomst 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

Trek -47 af van 0.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -4.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

Delen door -4 maakt de vermenigvuldiging met -4 ongedaan.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

Deel 20 door -4.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

Deel 47 door -4.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

Deel -5, de coëfficiënt van de x term door 2 om -\frac{5}{2} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van -\frac{5}{2} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van -\frac{5}{2} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Tel -\frac{47}{4} op bij \frac{25}{4} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Factoriseer x^{2}-5x+\frac{25}{4}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Vereenvoudig.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{5}{2} op.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$