Los -2x^2+12x-14>0 op

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

Oplossen voor x

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Vermenigvuldig de ongelijkheid met-1 om de coëfficiënt van de hoogste macht in -2x^{2}+12x-14 positief te maken. Omdat -1 negatief is, wordt de richting van de ongelijkheid gewijzigd.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Als u de ongelijkheid wilt oplossen, factoriseert u de linkerkant. Kwadratische polynoom kan worden gefactoriseerd met de transformatie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), waarbij x_{1} en x_{2} de oplossingen van de kwadratische vergelijking ax^{2}+bx+c=0 zijn.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

Alle vergelijkingen met de notatie ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Vervang a door 2, b door -12 en c door 14 in de kwadratische formule.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Voer de berekeningen uit.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

De vergelijking x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} oplossen wanneer ± plus en ± minteken is.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Herschrijf de ongelijkheid met behulp van de verkregen oplossingen.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Het product kan alleen negatief zijn als x-\left(\sqrt{2}+3\right) en x-\left(3-\sqrt{2}\right) van het tegengestelde teken zijn. Bekijk de zaak wanneer x-\left(\sqrt{2}+3\right) positief is en x-\left(3-\sqrt{2}\right) negatief is.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Dit is onwaar voor elke x.

$$x\in \emptyset$$

Bekijk de zaak wanneer x-\left(3-\sqrt{2}\right) positief is en x-\left(\sqrt{2}+3\right) negatief is.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

De oplossing die voldoet aan beide ongelijkheden, is x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

De uiteindelijke oplossing is de samenvoeging van de verkregen oplossingen.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$