Los x^2-x-1=0 op

$${ x }^{ 2 } -x-1=0$$

Oplossen voor x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$x^{2}-x-1=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 1 voor a, -1 voor b en -1 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Vermenigvuldig -4 met -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Tel 1 op bij 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Het tegenovergestelde van -1 is 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} op als ± positief is. Tel 1 op bij \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} op als ± negatief is. Trek \sqrt{5} af van 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-1=0$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 1 op.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Als u -1 aftrekt van zichzelf, is de uitkomst 0.

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Trek -1 af van 0.

$$x^{2}-x=1$$

Deel -1, de coëfficiënt van de x term door 2 om -\frac{1}{2} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van -\frac{1}{2} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van -\frac{1}{2} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Tel 1 op bij \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Factoriseer x^{2}-x+\frac{1}{4}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Vereenvoudig.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{1}{2} op.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$