Los x^2-x-1>0 op

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Oplossen voor x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Als u de ongelijkheid wilt oplossen, factoriseert u de linkerkant. Kwadratische polynoom kan worden gefactoriseerd met de transformatie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), waarbij x_{1} en x_{2} de oplossingen van de kwadratische vergelijking ax^{2}+bx+c=0 zijn.

$$x^{2}-x-1=0$$

Alle vergelijkingen met de notatie ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Vervang a door 1, b door -1 en c door -1 in de kwadratische formule.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Voer de berekeningen uit.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

De vergelijking x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} oplossen wanneer ± plus en ± minteken is.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Herschrijf de ongelijkheid met behulp van de verkregen oplossingen.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Als het product positief moet zijn, moeten x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} en x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} beide negatief of beide positief zijn. Bekijk de melding wanneer x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} en x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} beide negatief zijn.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

De oplossing die voldoet aan beide ongelijkheden, is x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Bekijk de melding wanneer x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} en x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} beide positief zijn.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

De oplossing die voldoet aan beide ongelijkheden, is x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

De uiteindelijke oplossing is de samenvoeging van de verkregen oplossingen.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$