Los x^2-3x+1<0 op

$${ x }^{ 2 } -3x+1 < 0$$

Oplossen voor x

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Als u de ongelijkheid wilt oplossen, factoriseert u de linkerkant. Kwadratische polynoom kan worden gefactoriseerd met de transformatie ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), waarbij x_{1} en x_{2} de oplossingen van de kwadratische vergelijking ax^{2}+bx+c=0 zijn.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Alle vergelijkingen met de notatie ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Vervang a door 1, b door -3 en c door 1 in de kwadratische formule.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Voer de berekeningen uit.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

De vergelijking x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} oplossen wanneer ± plus en ± minteken is.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Herschrijf de ongelijkheid met behulp van de verkregen oplossingen.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)<0$$

Het product kan alleen negatief zijn als x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} en x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} van het tegengestelde teken zijn. Bekijk de zaak wanneer x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} positief is en x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} negatief is.

$$x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}>0 x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}<0$$

Dit is onwaar voor elke x.

$$x\in \emptyset$$

Bekijk de zaak wanneer x-\frac{3-\sqrt{5}}{2} positief is en x-\frac{\sqrt{5}+3}{2} negatief is.

$$x-\frac{3-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+3}{2}<0$$

De oplossing die voldoet aan beide ongelijkheden, is x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right).

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$

De uiteindelijke oplossing is de samenvoeging van de verkregen oplossingen.

$$x\in \left(\frac{3-\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}+3}{2}\right)$$