Los {left(sqrt{2}+sqrt{5}right)}^2-{left(2+sqrt{10}right)}^2+sqrt{90}+left(2sqrt{2}-1right)left(2sqrt{2}+1right) op

$${ \left( \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 } - { \left(2+ \sqrt{ 10 } \right) }^{ 2 } + \sqrt{ 90 } + \left( 2 \sqrt{ 2 } -1 \right) \left( 2 \sqrt{ 2 } +1 \right)$$

Evalueren

$$\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

Oplossingsstappen

Gebruik het binomium van Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} om \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2} uit te breiden.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Het kwadraat van \sqrt{2} is 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Als u \sqrt{2} en \sqrt{5} wilt vermenigvuldigen, vermenigvuldigt u de getallen onder de vierkantswortel.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Het kwadraat van \sqrt{5} is 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Tel 2 en 5 op om 7 te krijgen.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Gebruik het binomium van Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} om \left(2+\sqrt{10}\right)^{2} uit te breiden.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Het kwadraat van \sqrt{10} is 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Tel 4 en 10 op om 14 te krijgen.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Zoek het tegenovergestelde van elke term om het tegenovergestelde van 14+4\sqrt{10} te krijgen.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Trek 14 af van 7 om -7 te krijgen.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Combineer 2\sqrt{10} en -4\sqrt{10} om -2\sqrt{10} te krijgen.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Factoriseer 90=3^{2}\times 10. Herschrijf de vierkantswortel van het product \sqrt{3^{2}\times 10} als het product van vierkantswortels \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}. Bereken de vierkantswortel van 3^{2}.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Combineer -2\sqrt{10} en 3\sqrt{10} om \sqrt{10} te krijgen.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Houd rekening met \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). Vermenigvuldiging kan worden omgezet in het verschil tussen de kwadraten van de regel: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Bereken de wortel van 1.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Breid \left(2\sqrt{2}\right)^{2} uit.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Bereken 2 tot de macht van 2 en krijg 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Het kwadraat van \sqrt{2} is 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

Vermenigvuldig 4 en 2 om 8 te krijgen.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

Trek 1 af van 8 om 7 te krijgen.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

Tel -7 en 7 op om 0 te krijgen.

$$\sqrt{10}$$