Los sqrt{x}=sqrt{1+sqrt{x}} op

$$\sqrt{ x } = \sqrt{ 1+ \sqrt{ x } }$$

Oplossen voor x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Oplossingsstappen

Herleid de wortel aan beide kanten van de vergelijking.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

Bereken \sqrt{x} tot de macht van 2 en krijg x.

$$x=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

Bereken \sqrt{1+\sqrt{x}} tot de macht van 2 en krijg 1+\sqrt{x}.

$$x=1+\sqrt{x}$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 1 af.

$$x-1=\sqrt{x}$$

Herleid de wortel aan beide kanten van de vergelijking.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Gebruik het binomium van Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} om \left(x-1\right)^{2} uit te breiden.

$$x^{2}-2x+1=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Bereken \sqrt{x} tot de macht van 2 en krijg x.

$$x^{2}-2x+1=x$$

Trek aan beide kanten x af.

$$x^{2}-2x+1-x=0$$

Combineer -2x en -x om -3x te krijgen.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 1 voor a, -3 voor b en 1 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

Bereken de wortel van -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

Tel 9 op bij -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

Het tegenovergestelde van -3 is 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} op als ± positief is. Tel 3 op bij \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} op als ± negatief is. Trek \sqrt{5} af van 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Vervang \frac{\sqrt{5}+3}{2} door x in de vergelijking \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

Vereenvoudig. De waarde x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} voldoet aan de vergelijking.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Vervang \frac{3-\sqrt{5}}{2} door x in de vergelijking \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}}$$

Vereenvoudig. De waarde x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} voldoet niet aan de vergelijking.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Vervang \frac{\sqrt{5}+3}{2} door x in de vergelijking \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

Vereenvoudig. De waarde x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} voldoet aan de vergelijking.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Vergelijking \sqrt{x}=\sqrt{\sqrt{x}+1} een unieke oplossing.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$