Los sqrt{x-1}=x op

$$\sqrt { x - 1 } = x$$

Oplossen voor x (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

Oplossingsstappen

Herleid de wortel aan beide kanten van de vergelijking.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=x^{2}$$

Bereken \sqrt{x-1} tot de macht van 2 en krijg x-1.

$$x-1=x^{2}$$

Trek aan beide kanten x^{2} af.

$$x-1-x^{2}=0$$

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$-x^{2}+x-1=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer -1 voor a, 1 voor b en -1 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Bereken de wortel van 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vermenigvuldig -4 met -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vermenigvuldig 4 met -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

Tel 1 op bij -4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

Bereken de vierkantswortel van -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

Vermenigvuldig 2 met -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} op als ± positief is. Tel -1 op bij i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{-2}$$

Deel -1+i\sqrt{3} door -2.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{-1±\sqrt{3}i}{-2} op als ± negatief is. Trek i\sqrt{3} af van -1.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{-2}$$

Deel -1-i\sqrt{3} door -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Vervang \frac{-\sqrt{3}i+1}{2} door x in de vergelijking \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}-1}=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Vereenvoudig. De waarde x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2} voldoet niet aan de vergelijking.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Vervang \frac{1+\sqrt{3}i}{2} door x in de vergelijking \sqrt{x-1}=x.

$$\sqrt{\frac{1+\sqrt{3}i}{2}-1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Vereenvoudig. De waarde x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} voldoet aan de vergelijking.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Vergelijking \sqrt{x-1}=x een unieke oplossing.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$