Los sqrt{x+2}=x+1 op

$$\sqrt { x + 2 } = x + 1$$

Oplossen voor x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618033989$$

Oplossingsstappen

Herleid de wortel aan beide kanten van de vergelijking.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(x+1\right)^{2}$$

Bereken \sqrt{x+2} tot de macht van 2 en krijg x+2.

$$x+2=\left(x+1\right)^{2}$$

Gebruik het binomium van Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} om \left(x+1\right)^{2} uit te breiden.

$$x+2=x^{2}+2x+1$$

Trek aan beide kanten x^{2} af.

$$x+2-x^{2}=2x+1$$

Trek aan beide kanten 2x af.

$$x+2-x^{2}-2x=1$$

Combineer x en -2x om -x te krijgen.

$$-x+2-x^{2}=1$$

Trek aan beide kanten 1 af.

$$-x+2-x^{2}-1=0$$

Trek 1 af van 2 om 1 te krijgen.

$$-x+1-x^{2}=0$$

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$-x^{2}-x+1=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer -1 voor a, -1 voor b en 1 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vermenigvuldig -4 met -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Tel 1 op bij 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Het tegenovergestelde van -1 is 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Vermenigvuldig 2 met -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} op als ± positief is. Tel 1 op bij \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{-2}$$

Deel 1+\sqrt{5} door -2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} op als ± negatief is. Trek \sqrt{5} af van 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{-2}$$

Deel 1-\sqrt{5} door -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Vervang \frac{-\sqrt{5}-1}{2} door x in de vergelijking \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Vereenvoudig. De waarde x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} voldoet niet aan de vergelijking omdat de linker-en de rechterkant een tegengesteld teken hebben.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Vervang \frac{\sqrt{5}-1}{2} door x in de vergelijking \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Vereenvoudig. De waarde x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} voldoet aan de vergelijking.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Vergelijking \sqrt{x+2}=x+1 een unieke oplossing.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$