Los sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4 op

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Oplossen voor x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Oplossingsstappen

Trek aan beide kanten van de vergelijking -\sqrt{15+x^{2}} af.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Herleid de wortel aan beide kanten van de vergelijking.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Bereken \sqrt{25-x^{2}} tot de macht van 2 en krijg 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Gebruik het binomium van Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} om \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} uit te breiden.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Bereken \sqrt{15+x^{2}} tot de macht van 2 en krijg 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Tel 16 en 15 op om 31 te krijgen.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 31+x^{2} af.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Zoek het tegenovergestelde van elke term om het tegenovergestelde van 31+x^{2} te krijgen.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Trek 31 af van 25 om -6 te krijgen.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Combineer -x^{2} en -x^{2} om -2x^{2} te krijgen.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Herleid de wortel aan beide kanten van de vergelijking.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Gebruik het binomium van Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} om \left(-6-2x^{2}\right)^{2} uit te breiden.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Als u de macht van een getal wilt verheffen tot de macht van een ander getal, vermenigvuldigt u de exponenten. Vermenigvuldig 2 en 2 om 4 te krijgen.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Breid \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2} uit.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Bereken 8 tot de macht van 2 en krijg 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Bereken \sqrt{15+x^{2}} tot de macht van 2 en krijg 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Gebruik de distributieve eigenschap om 64 te vermenigvuldigen met 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Trek aan beide kanten 960 af.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Trek 960 af van 36 om -924 te krijgen.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Trek aan beide kanten 64x^{2} af.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Combineer 24x^{2} en -64x^{2} om -40x^{2} te krijgen.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Vervang t voor x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Alle vergelijkingen met de notatie ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Vervang a door 4, b door -40 en c door -924 in de kwadratische formule.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Voer de berekeningen uit.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

De vergelijking t=\frac{40±128}{8} oplossen wanneer ± plus en ± minteken is.

$$t=21 t=-11$$

Sinds x=t^{2} worden de oplossingen verkregen door x=±\sqrt{t} voor elke t te evalueren.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Vervang -\sqrt{21} door x in de vergelijking \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Vereenvoudig. De waarde x=-\sqrt{21} voldoet niet aan de vergelijking omdat de linker-en de rechterkant een tegengesteld teken hebben.

$$-4=4$$

Vervang \sqrt{21} door x in de vergelijking \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Vereenvoudig. De waarde x=\sqrt{21} voldoet niet aan de vergelijking omdat de linker-en de rechterkant een tegengesteld teken hebben.

$$-4=4$$

Vervang -\sqrt{11}i door x in de vergelijking \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Vereenvoudig. De waarde x=-\sqrt{11}i voldoet aan de vergelijking.

$$4=4$$

Vervang \sqrt{11}i door x in de vergelijking \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Vereenvoudig. De waarde x=\sqrt{11}i voldoet aan de vergelijking.

$$4=4$$

Alle oplossingen van \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4 weergeven.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$