Los sqrt{2-x}=x-1 op

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Oplossen voor x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Oplossingsstappen

Herleid de wortel aan beide kanten van de vergelijking.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Bereken \sqrt{2-x} tot de macht van 2 en krijg 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Gebruik het binomium van Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} om \left(x-1\right)^{2} uit te breiden.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Trek aan beide kanten x^{2} af.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Voeg 2x toe aan beide zijden.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Combineer -x en 2x om x te krijgen.

$$2+x-x^{2}=1$$

Trek aan beide kanten 1 af.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Trek 1 af van 2 om 1 te krijgen.

$$1+x-x^{2}=0$$

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer -1 voor a, 1 voor b en 1 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Bereken de wortel van 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vermenigvuldig -4 met -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Tel 1 op bij 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Vermenigvuldig 2 met -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} op als ± positief is. Tel -1 op bij \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Deel -1+\sqrt{5} door -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} op als ± negatief is. Trek \sqrt{5} af van -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Deel -1-\sqrt{5} door -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Vervang \frac{1-\sqrt{5}}{2} door x in de vergelijking \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Vereenvoudig. De waarde x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} voldoet niet aan de vergelijking omdat de linker-en de rechterkant een tegengesteld teken hebben.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Vervang \frac{\sqrt{5}+1}{2} door x in de vergelijking \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Vereenvoudig. De waarde x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} voldoet aan de vergelijking.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

Vergelijking \sqrt{2-x}=x-1 een unieke oplossing.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$