Los sin(phi) op

$$\sin ( \phi )$$

Differentieer ten opzichte van ϕ

$$\cos(ϕ)$$

Stappen die gebruikmaken van de definitie van een afgeleide

Voor een functie f\left(x\right) is de afgeleide de grens van \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} wanneer h naar 0 gaat, als deze grens bestaat.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}ϕ}(\sin(ϕ))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(ϕ+h)-\sin(ϕ)}{h}\right)$$

Gebruik de somformule voor sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h+ϕ)-\sin(ϕ)}{h}$$

Factoriseer \sin(ϕ).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(ϕ)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(ϕ)\sin(h)}{h}$$

Herschrijf de grens.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(ϕ)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(ϕ)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Gebruik het feit dat ϕ een constante is bij het berekenen van grenzen wanneer h naar 0 gaat.

$$\sin(ϕ)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(ϕ)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

De grens \lim_{ϕ\to 0}\frac{\sin(ϕ)}{ϕ} is 1.

$$\sin(ϕ)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(ϕ)$$

Als u de grens \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} wilt evalueren, vermenigvuldigt u eerst de teller en noemer met \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Vermenigvuldig \cos(h)+1 met \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Gebruik de stelling van Pythagoras.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Herschrijf de grens.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

De grens \lim_{ϕ\to 0}\frac{\sin(ϕ)}{ϕ} is 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Gebruik het feit dat \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} continu is bij 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Substitueer de waarde 0 door de expressie \sin(ϕ)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(ϕ).

$$\cos(ϕ)$$

Evalueren

$$\sin(ϕ)$$