Los {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1} op

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Oplossen voor x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie en kwadratische formules

Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

Los x+y=1 op voor x door x aan de linkerkant van het gelijkteken te isoleren.

$$x+y=1$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking y af.

$$x=-y+1$$

Substitueer -y+1 voor x in de andere vergelijking: y^{2}+x^{2}=4.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

Bereken de wortel van -y+1.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Tel y^{2} op bij y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=4$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 4 af.

$$2y^{2}-2y-3=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer 1+1\left(-1\right)^{2} voor a, 1\times 1\left(-1\right)\times 2 voor b en -3 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Bereken de wortel van 1\times 1\left(-1\right)\times 2.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Vermenigvuldig -4 met 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Vermenigvuldig -8 met -3.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Tel 4 op bij 24.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Bereken de vierkantswortel van 28.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Het tegenovergestelde van 1\times 1\left(-1\right)\times 2 is 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Vermenigvuldig 2 met 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Los nu de vergelijking y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} op als ± positief is. Tel 2 op bij 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Deel 2+2\sqrt{7} door 4.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Los nu de vergelijking y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} op als ± negatief is. Trek 2\sqrt{7} af van 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Deel 2-2\sqrt{7} door 4.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Er zijn twee oplossingen voor y: \frac{1+\sqrt{7}}{2} en \frac{1-\sqrt{7}}{2}. Substitueer \frac{1+\sqrt{7}}{2} voor y in de vergelijking x=-y+1 om de bijbehorende oplossing voor x te vinden die klopt voor beide vergelijkingen.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Substitueer nu \frac{1-\sqrt{7}}{2} voor y in de vergelijking x=-y+1 en los deze op om de bijbehorende oplossing voor x te vinden die klopt voor beide vergelijkingen.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$