Los {l}{x+y=90}{x+36=3y} op

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Oplossen voor x, y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie

Neem de tweede vergelijking. Trek aan beide kanten 3y af.

$$x+36-3y=0$$

Trek aan beide kanten 36 af. Een waarde afgetrokken van nul retourneert de bijbehorende negatie.

$$x-3y=-36$$

Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$x+y=90$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking y af.

$$x=-y+90$$

Substitueer -y+90 voor x in de andere vergelijking: x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Tel -y op bij -3y.

$$-4y+90=-36$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 90 af.

$$-4y=-126$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Vervang \frac{63}{2} door y in x=-y+90. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Tel 90 op bij -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Stappen die gebruikmaken van matrices

Neem de tweede vergelijking. Trek aan beide kanten 3y af.

$$x+36-3y=0$$

Trek aan beide kanten 36 af. Een waarde afgetrokken van nul retourneert de bijbehorende negatie.

$$x-3y=-36$$

Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Schrijf de vergelijkingen als matrices.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Voor de 2\times 2-matrix, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is de inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). De matrixvergelijking kan dus opnieuw worden geschreven als een matrixvermenigvuldigingsprobleem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Herleid de matrixelementen x en y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Stappen die gebruikmaken van eliminatie

Neem de tweede vergelijking. Trek aan beide kanten 3y af.

$$x+36-3y=0$$

Trek aan beide kanten 36 af. Een waarde afgetrokken van nul retourneert de bijbehorende negatie.

$$x-3y=-36$$

Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Trek x-3y=-36 af van x+y=90 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Tel x op bij -x. De termen x en -x worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.

$$y+3y=90+36$$

Tel y op bij 3y.

$$4y=90+36$$

Tel 90 op bij 36.

$$4y=126$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Vervang \frac{63}{2} door y in x-3y=-36. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Vermenigvuldig -3 met \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{189}{2} op.

$$x=\frac{117}{2}$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$