Los {l}{2x_{1}+3x_{2}=7}{4x_{1}-4x_{2}=-6} op

$$\left. \begin{array} { l } { 2 x _ { 1 } + 3 x _ { 2 } = 7 } \\ { 4 x _ { 1 } - 4 x _ { 2 } = - 6 } \end{array} \right.$$

Oplossen voor x_1, x_2

$$x_{1}=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x_{2}=2$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie

Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x_{1}, door x_{1} te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$2x_{1}+3x_{2}=7$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 3x_{2} af.

$$2x_{1}=-3x_{2}+7$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 2.

$$x_{1}=\frac{1}{2}\left(-3x_{2}+7\right)$$

Vermenigvuldig \frac{1}{2} met -3x_{2}+7.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}$$

Substitueer \frac{-3x_{2}+7}{2} voor x_{1} in de andere vergelijking: 4x_{1}-4x_{2}=-6.

$$4\left(-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}\right)-4x_{2}=-6$$

Vermenigvuldig 4 met \frac{-3x_{2}+7}{2}.

$$-6x_{2}+14-4x_{2}=-6$$

Tel -6x_{2} op bij -4x_{2}.

$$-10x_{2}+14=-6$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 14 af.

$$-10x_{2}=-20$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -10.

$$x_{2}=2$$

Vervang 2 door x_{2} in x_{1}=-\frac{3}{2}x_{2}+\frac{7}{2}. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x_{1} direct oplossen.

$$x_{1}=-\frac{3}{2}\times 2+\frac{7}{2}$$

Vermenigvuldig -\frac{3}{2} met 2.

$$x_{1}=-3+\frac{7}{2}$$

Tel \frac{7}{2} op bij -3.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Stappen die gebruikmaken van matrices

Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Schrijf de vergelijkingen als matrices.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Voor de 2\times 2-matrix, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is de inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). De matrixvergelijking kan dus opnieuw worden geschreven als een matrixvermenigvuldigingsprobleem.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&-\frac{3}{2\left(-4\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{2\left(-4\right)-3\times 4}&\frac{2}{2\left(-4\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{20}\\\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-6\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{20}\left(-6\right)\\\frac{1}{5}\times 7-\frac{1}{10}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\2\end{matrix}\right)$$

Herleid de matrixelementen x_{1} en x_{2}.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$

Stappen die gebruikmaken van eliminatie

Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.

$$2x_{1}+3x_{2}=7,4x_{1}-4x_{2}=-6$$

Als u 2x_{1} en 4x_{1} gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met 4 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 2.

$$4\times 2x_{1}+4\times 3x_{2}=4\times 7,2\times 4x_{1}+2\left(-4\right)x_{2}=2\left(-6\right)$$

Vereenvoudig.

$$8x_{1}+12x_{2}=28,8x_{1}-8x_{2}=-12$$

Trek 8x_{1}-8x_{2}=-12 af van 8x_{1}+12x_{2}=28 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.

$$8x_{1}-8x_{1}+12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Tel 8x_{1} op bij -8x_{1}. De termen 8x_{1} en -8x_{1} worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.

$$12x_{2}+8x_{2}=28+12$$

Tel 12x_{2} op bij 8x_{2}.

$$20x_{2}=28+12$$

Tel 28 op bij 12.

$$20x_{2}=40$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 20.

$$x_{2}=2$$

Vervang 2 door x_{2} in 4x_{1}-4x_{2}=-6. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x_{1} direct oplossen.

$$4x_{1}-4\times 2=-6$$

Vermenigvuldig -4 met 2.

$$4x_{1}-8=-6$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 8 op.

$$4x_{1}=2$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 4.

$$x_{1}=\frac{1}{2}$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x_{1}=\frac{1}{2},x_{2}=2$$