Overslaan en naar de inhoud gaan
$\estwo{\fraction{x}{3} - \fraction{y}{2} = 8}{\fraction{x}{5} + \fraction{y}{3} = 1} $
Oplossen voor x, y
Tick mark Image

Vergelijkbare problemen van Web Search

Delen

2x-3y=48
Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 6, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 3,2.
3x+5y=15
Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 15, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 5,3.
2x-3y=48,3x+5y=15
Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.
2x-3y=48
Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.
2x=3y+48
Tel aan beide kanten van de vergelijking 3y op.
x=\frac{1}{2}\left(3y+48\right)
Deel beide zijden van de vergelijking door 2.
x=\frac{3}{2}y+24
Vermenigvuldig \frac{1}{2} met 48+3y.
3\left(\frac{3}{2}y+24\right)+5y=15
Substitueer \frac{3y}{2}+24 voor x in de andere vergelijking: 3x+5y=15.
\frac{9}{2}y+72+5y=15
Vermenigvuldig 3 met \frac{3y}{2}+24.
\frac{19}{2}y+72=15
Tel \frac{9y}{2} op bij 5y.
\frac{19}{2}y=-57
Trek aan beide kanten van de vergelijking 72 af.
y=-6
Deel beide kanten van de vergelijking door \frac{19}{2}. Dit is hetzelfde is als beide kanten vermenigvuldigen met de omgekeerde waarde van de breuk.
x=\frac{3}{2}\left(-6\right)+24
Vervang -6 door y in x=\frac{3}{2}y+24. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.
x=-9+24
Vermenigvuldig \frac{3}{2} met -6.
x=15
Tel 24 op bij -9.
x=15,y=-6
Het systeem is nu opgelost.
2x-3y=48
Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 6, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 3,2.
3x+5y=15
Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 15, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 5,3.
2x-3y=48,3x+5y=15
Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.
\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Schrijf de vergelijkingen als matrices.
inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 5-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Voor de 2\times 2-matrix, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is de inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). De matrixvergelijking kan dus opnieuw worden geschreven als een matrixvermenigvuldigingsprobleem.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}&\frac{3}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\15\end{matrix}\right)
Voer de berekeningen uit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{19}\times 48+\frac{3}{19}\times 15\\-\frac{3}{19}\times 48+\frac{2}{19}\times 15\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\-6\end{matrix}\right)
Voer de berekeningen uit.
x=15,y=-6
Herleid de matrixelementen x en y.
2x-3y=48
Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 6, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 3,2.
3x+5y=15
Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 15, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 5,3.
2x-3y=48,3x+5y=15
Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.
3\times 2x+3\left(-3\right)y=3\times 48,2\times 3x+2\times 5y=2\times 15
Als u 2x en 3x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met 3 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 2.
6x-9y=144,6x+10y=30
Vereenvoudig.
6x-6x-9y-10y=144-30
Trek 6x+10y=30 af van 6x-9y=144 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.
-9y-10y=144-30
Tel 6x op bij -6x. De termen 6x en -6x worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.
-19y=144-30
Tel -9y op bij -10y.
-19y=114
Tel 144 op bij -30.
y=-6
Deel beide zijden van de vergelijking door -19.
3x+5\left(-6\right)=15
Vervang -6 door y in 3x+5y=15. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.
3x-30=15
Vermenigvuldig 5 met -6.
3x=45
Tel aan beide kanten van de vergelijking 30 op.
x=15
Deel beide zijden van de vergelijking door 3.
x=15,y=-6
Het systeem is nu opgelost.