Overslaan en naar de inhoud gaan
$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = 46 } \\ { 7 x + 3 y = 47 } \end{array} \right. $
Oplossen voor x, y
Tick mark Image
Grafiek

Vergelijkbare problemen van Web Search

Delen

8x+2y=46,7x+3y=47
Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.
8x+2y=46
Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.
8x=-2y+46
Trek aan beide kanten van de vergelijking 2y af.
x=\frac{1}{8}\left(-2y+46\right)
Deel beide zijden van de vergelijking door 8.
x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}
Vermenigvuldig \frac{1}{8} met -2y+46.
7\left(-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}\right)+3y=47
Substitueer \frac{-y+23}{4} voor x in de andere vergelijking: 7x+3y=47.
-\frac{7}{4}y+\frac{161}{4}+3y=47
Vermenigvuldig 7 met \frac{-y+23}{4}.
\frac{5}{4}y+\frac{161}{4}=47
Tel -\frac{7y}{4} op bij 3y.
\frac{5}{4}y=\frac{27}{4}
Trek aan beide kanten van de vergelijking \frac{161}{4} af.
y=\frac{27}{5}
Deel beide kanten van de vergelijking door \frac{5}{4}. Dit is hetzelfde is als beide kanten vermenigvuldigen met de omgekeerde waarde van de breuk.
x=-\frac{1}{4}\times \left(\frac{27}{5}\right)+\frac{23}{4}
Vervang \frac{27}{5} door y in x=-\frac{1}{4}y+\frac{23}{4}. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.
x=-\frac{27}{20}+\frac{23}{4}
Vermenigvuldig -\frac{1}{4} met \frac{27}{5} door teller maal teller en noemer maal noemer te vermenigvuldigen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.
x=\frac{22}{5}
Tel \frac{23}{4} op bij -\frac{27}{20} door een gemeenschappelijke noemer te bepalen en de tellers op te tellen. Vereenvoudig vervolgens de breuk naar de kleinste termen indien mogelijk.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
Het systeem is nu opgelost.
8x+2y=46,7x+3y=47
Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.
\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Schrijf de vergelijkingen als matrices.
inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-2\times 7}&-\frac{2}{8\times 3-2\times 7}\\-\frac{7}{8\times 3-2\times 7}&\frac{8}{8\times 3-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Voor de 2\times 2-matrix, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is de inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). De matrixvergelijking kan dus opnieuw worden geschreven als een matrixvermenigvuldigingsprobleem.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{10}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}46\\47\end{matrix}\right)
Voer de berekeningen uit.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 46-\frac{1}{5}\times 47\\-\frac{7}{10}\times 46+\frac{4}{5}\times 47\end{matrix}\right)
Vermenigvuldig de matrices.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{5}\\\frac{27}{5}\end{matrix}\right)
Voer de berekeningen uit.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
Herleid de matrixelementen x en y.
8x+2y=46,7x+3y=47
Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.
7\times 8x+7\times 2y=7\times 46,8\times 7x+8\times 3y=8\times 47
Als u 8x en 7x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met 7 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 8.
56x+14y=322,56x+24y=376
Vereenvoudig.
56x-56x+14y-24y=322-376
Trek 56x+24y=376 af van 56x+14y=322 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.
14y-24y=322-376
Tel 56x op bij -56x. De termen 56x en -56x worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.
-10y=322-376
Tel 14y op bij -24y.
-10y=-54
Tel 322 op bij -376.
y=\frac{27}{5}
Deel beide zijden van de vergelijking door -10.
7x+3\times \left(\frac{27}{5}\right)=47
Vervang \frac{27}{5} door y in 7x+3y=47. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.
7x+\frac{81}{5}=47
Vermenigvuldig 3 met \frac{27}{5}.
7x=\frac{154}{5}
Trek aan beide kanten van de vergelijking \frac{81}{5} af.
x=\frac{22}{5}
Deel beide zijden van de vergelijking door 7.
x=\frac{22}{5},y=\frac{27}{5}
Het systeem is nu opgelost.