Los {l}{2x+4y=2060}{5x+7y=1640} op

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x + 4 y = 2060 } \\ { 5 x + 7 y = 1640 } \end{array} \right.$$

Oplossen voor x, y

$$x=-1310$$

$$y=1170$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie

Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$2x+4y=2060$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 4y af.

$$2x=-4y+2060$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-4y+2060\right)$$

Vermenigvuldig \frac{1}{2} met -4y+2060.

$$x=-2y+1030$$

Substitueer -2y+1030 voor x in de andere vergelijking: 5x+7y=1640.

$$5\left(-2y+1030\right)+7y=1640$$

Vermenigvuldig 5 met -2y+1030.

$$-10y+5150+7y=1640$$

Tel -10y op bij 7y.

$$-3y+5150=1640$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 5150 af.

$$-3y=-3510$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -3.

$$y=1170$$

Vervang 1170 door y in x=-2y+1030. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$x=-2\times 1170+1030$$

Vermenigvuldig -2 met 1170.

$$x=-2340+1030$$

Tel 1030 op bij -2340.

$$x=-1310$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=-1310,y=1170$$

Stappen die gebruikmaken van matrices

Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Schrijf de vergelijkingen als matrices.

$$\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&4\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Voor de 2\times 2-matrix, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is de inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). De matrixvergelijking kan dus opnieuw worden geschreven als een matrixvermenigvuldigingsprobleem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-4\times 5}&-\frac{4}{2\times 7-4\times 5}\\-\frac{5}{2\times 7-4\times 5}&\frac{2}{2\times 7-4\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{6}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\1640\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{6}\times 2060+\frac{2}{3}\times 1640\\\frac{5}{6}\times 2060-\frac{1}{3}\times 1640\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1310\\1170\end{matrix}\right)$$

Herleid de matrixelementen x en y.

$$x=-1310,y=1170$$

Stappen die gebruikmaken van eliminatie

Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.

$$2x+4y=2060,5x+7y=1640$$

Als u 2x en 5x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met 5 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 2.

$$5\times 2x+5\times 4y=5\times 2060,2\times 5x+2\times 7y=2\times 1640$$

Vereenvoudig.

$$10x+20y=10300,10x+14y=3280$$

Trek 10x+14y=3280 af van 10x+20y=10300 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.

$$10x-10x+20y-14y=10300-3280$$

Tel 10x op bij -10x. De termen 10x en -10x worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.

$$20y-14y=10300-3280$$

Tel 20y op bij -14y.

$$6y=10300-3280$$

Tel 10300 op bij -3280.

$$6y=7020$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 6.

$$y=1170$$

Vervang 1170 door y in 5x+7y=1640. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$5x+7\times 1170=1640$$

Vermenigvuldig 7 met 1170.

$$5x+8190=1640$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 8190 af.

$$5x=-6550$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 5.

$$x=-1310$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=-1310,y=1170$$