Los {l}{2ax+by=14}{-2x+9y=-19} op

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 a x + b y = 14 } \\ { - 2 x + 9 y = - 19 } \end{array} \right.$$

Oplossen voor x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie

Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$2ax+by=14$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking by af.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Vermenigvuldig \frac{1}{2a} met -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Substitueer \frac{-by+14}{2a} voor x in de andere vergelijking: -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Vermenigvuldig -2 met \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Tel \frac{by}{a} op bij 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{14}{a} op.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Vervang \frac{14-19a}{9a+b} door y in x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Vermenigvuldig -\frac{b}{2a} met \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Tel \frac{7}{a} op bij -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Stappen die gebruikmaken van matrices

Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Schrijf de vergelijkingen als matrices.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Voor de 2\times 2-matrix, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is de inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). De matrixvergelijking kan dus opnieuw worden geschreven als een matrixvermenigvuldigingsprobleem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Herleid de matrixelementen x en y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Stappen die gebruikmaken van eliminatie

Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Als u 2ax en -2x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met -2 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Vereenvoudig.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Trek \left(-4a\right)x+18ay=-38a af van \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Tel -4ax op bij 4ax. De termen -4ax en 4ax worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Tel -2by op bij -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Tel -28 op bij 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Vervang -\frac{-14+19a}{b+9a} door y in -2x+9y=-19. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Vermenigvuldig 9 met -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} op.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Oplossen voor x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\text{, }y=-\frac{19a-14}{9a+b}\text{, }&a\neq -\frac{b}{9}\\x=\frac{9y+19}{2}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&b=-\frac{126}{19}\text{ and }a=\frac{14}{19}\end{matrix}\right.$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie

Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$2ax+by=14$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking by af.

$$2ax=\left(-b\right)y+14$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 2a.

$$x=\frac{1}{2a}\left(\left(-b\right)y+14\right)$$

Vermenigvuldig \frac{1}{2a} met -by+14.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}$$

Substitueer \frac{-by+14}{2a} voor x in de andere vergelijking: -2x+9y=-19.

$$-2\left(\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}\right)+9y=-19$$

Vermenigvuldig -2 met \frac{-by+14}{2a}.

$$\frac{b}{a}y-\frac{14}{a}+9y=-19$$

Tel \frac{by}{a} op bij 9y.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y-\frac{14}{a}=-19$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{14}{a} op.

$$\left(\frac{b}{a}+9\right)y=-19+\frac{14}{a}$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 9+\frac{b}{a}.

$$y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Vervang \frac{14-19a}{9a+b} door y in x=\left(-\frac{b}{2a}\right)y+\frac{7}{a}. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$x=\left(-\frac{b}{2a}\right)\times \frac{14-19a}{9a+b}+\frac{7}{a}$$

Vermenigvuldig -\frac{b}{2a} met \frac{14-19a}{9a+b}.

$$x=-\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}+\frac{7}{a}$$

Tel \frac{7}{a} op bij -\frac{b\left(14-19a\right)}{2a\left(9a+b\right)}.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Stappen die gebruikmaken van matrices

Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Schrijf de vergelijkingen als matrices.

$$\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2a&b\\-2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Voor de 2\times 2-matrix, \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), is de inverse matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right). De matrixvergelijking kan dus opnieuw worden geschreven als een matrixvermenigvuldigingsprobleem.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&-\frac{b}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2a\times 9-b\left(-2\right)}&\frac{2a}{2a\times 9-b\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}&-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{1}{9a+b}&\frac{a}{9a+b}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\-19\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\left(9a+b\right)}\times 14+\left(-\frac{b}{2\left(9a+b\right)}\right)\left(-19\right)\\\frac{1}{9a+b}\times 14+\frac{a}{9a+b}\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}\\\frac{14-19a}{9a+b}\end{matrix}\right)$$

Herleid de matrixelementen x en y.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=\frac{14-19a}{9a+b}$$

Stappen die gebruikmaken van eliminatie

Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.

$$2ax+by=14,-2x+9y=-19$$

Als u 2ax en -2x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met -2 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 2a.

$$-2\times 2ax-2by=-2\times 14,2a\left(-2\right)x+2a\times 9y=2a\left(-19\right)$$

Vereenvoudig.

$$\left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28,\left(-4a\right)x+18ay=-38a$$

Trek \left(-4a\right)x+18ay=-38a af van \left(-4a\right)x+\left(-2b\right)y=-28 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.

$$\left(-4a\right)x+4ax+\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Tel -4ax op bij 4ax. De termen -4ax en 4ax worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.

$$\left(-2b\right)y+\left(-18a\right)y=-28+38a$$

Tel -2by op bij -18ay.

$$\left(-18a-2b\right)y=-28+38a$$

Tel -28 op bij 38a.

$$\left(-18a-2b\right)y=38a-28$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -2b-18a.

$$y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$

Vervang -\frac{-14+19a}{b+9a} door y in -2x+9y=-19. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$-2x+9\left(-\frac{19a-14}{9a+b}\right)=-19$$

Vermenigvuldig 9 met -\frac{-14+19a}{b+9a}.

$$-2x-\frac{9\left(19a-14\right)}{9a+b}=-19$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{9\left(-14+19a\right)}{b+9a} op.

$$-2x=-\frac{19b+126}{9a+b}$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -2.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)}$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=\frac{19b+126}{2\left(9a+b\right)},y=-\frac{19a-14}{9a+b}$$