Los ∫ (from 4 to 9) of (sqrt{x}+1)sqrt{x wrt x op

$$\int _ { 4 } ^ { 9 } ( \sqrt { x } + 1 ) \sqrt { x } d x$$

Evalueren

$$\frac{271}{6}\approx 45,166666667$$

Oplossingsstappen

Gebruik de distributieve eigenschap om \sqrt{x}+1 te vermenigvuldigen met \sqrt{x}.

$$\int _{4}^{9}\left(\sqrt{x}\right)^{2}+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Bereken \sqrt{x} tot de macht van 2 en krijg x.

$$\int _{4}^{9}x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Evalueer eerst de onbeperkte integraal.

$$\int x+\sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int x\mathrm{d}x+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x\mathrm{d}x door \frac{x^{2}}{2}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1.

$$\frac{x^{2}}{2}+\int \sqrt{x}\mathrm{d}x$$

Herschrijf \sqrt{x} als x^{\frac{1}{2}}. Vervang \int x^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}x door \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vereenvoudig.

$$\frac{x^{2}}{2}+\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}$$

De bepaalde integraal is de primitieve functie van de expressie geëvalueerd op de bovenste integratiegrens min de primitieve functie geëvalueerd op de onderste integratiegrens.

$$\frac{9^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 9^{\frac{3}{2}}-\left(\frac{4^{2}}{2}+\frac{2}{3}\times 4^{\frac{3}{2}}\right)$$

Vereenvoudig.

$$\frac{271}{6}$$