Los ∫ (from 1 to 5) of 27t^3+162t^2+324t+216dt op

$$\int _ { 1 } ^ { 5 } 27 t ^ { 3 } + 162 t ^ { 2 } + 324 t + 216 d t$$

Evalueren

$$15660$$

Oplossingsstappen

Evalueer eerst de onbeperkte integraal.

$$\int 27t^{3}+162t^{2}+324t+216\mathrm{d}t$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int 27t^{3}\mathrm{d}t+\int 162t^{2}\mathrm{d}t+\int 324t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$27\int t^{3}\mathrm{d}t+162\int t^{2}\mathrm{d}t+324\int t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

Vervang \int t^{3}\mathrm{d}t door \frac{t^{4}}{4}, omdat \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 27 met \frac{t^{4}}{4}.

$$\frac{27t^{4}}{4}+162\int t^{2}\mathrm{d}t+324\int t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

Vervang \int t^{2}\mathrm{d}t door \frac{t^{3}}{3}, omdat \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 162 met \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{27t^{4}}{4}+54t^{3}+324\int t\mathrm{d}t+\int 216\mathrm{d}t$$

Vervang \int t\mathrm{d}t door \frac{t^{2}}{2}, omdat \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 324 met \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{27t^{4}}{4}+54t^{3}+162t^{2}+\int 216\mathrm{d}t$$

De integraal van 216 zoeken met behulp van de tabel met algemene integralen regel \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{27t^{4}}{4}+54t^{3}+162t^{2}+216t$$

De bepaalde integraal is de primitieve functie van de expressie geëvalueerd op de bovenste integratiegrens min de primitieve functie geëvalueerd op de onderste integratiegrens.

$$\frac{27}{4}\times 5^{4}+54\times 5^{3}+162\times 5^{2}+216\times 5-\left(\frac{27}{4}\times 1^{4}+54\times 1^{3}+162\times 1^{2}+216\times 1\right)$$

Vereenvoudig.

$$15660$$