Los ∫ (from 0 to 2 cos x) of r-r^2dr op

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \cos x } r - r ^ { 2 } d r$$

Evalueren

$$\frac{2\left(-4\cos(x)+3\right)\left(\cos(x)\right)^{2}}{3}$$

Oplossingsstappen

Evalueer eerst de onbeperkte integraal.

$$\int r-r^{2}\mathrm{d}r$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int r\mathrm{d}r+\int -r^{2}\mathrm{d}r$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$\int r\mathrm{d}r-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Vervang \int r\mathrm{d}r door \frac{r^{2}}{2}, omdat \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1.

$$\frac{r^{2}}{2}-\int r^{2}\mathrm{d}r$$

Vervang \int r^{2}\mathrm{d}r door \frac{r^{3}}{3}, omdat \int r^{k}\mathrm{d}r=\frac{r^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig -1 met \frac{r^{3}}{3}.

$$\frac{r^{2}}{2}-\frac{r^{3}}{3}$$

De bepaalde integraal is de primitieve functie van de expressie geëvalueerd op de bovenste integratiegrens min de primitieve functie geëvalueerd op de onderste integratiegrens.

$$\frac{1}{2}\times \left(2\cos(x)\right)^{2}-\frac{1}{3}\times \left(2\cos(x)\right)^{3}-\left(\frac{0^{2}}{2}-\frac{0^{3}}{3}\right)$$

Vereenvoudig.

$$\left(\cos(x)\right)^{2}\left(2-\frac{8\cos(x)}{3}\right)$$

Differentieer ten opzichte van x

$$2\sin(2x)\left(2\cos(x)-1\right)$$