Los ∫ (from 0 to 1) of (1-8v^3+16v^7)dv op

$$\int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - 8 v ^ { 3 } + 16 v ^ { 7 } ) d v$$

Evalueren

$$1$$

Oplossingsstappen

Evalueer eerst de onbeperkte integraal.

$$\int 1-8v^{3}+16v^{7}\mathrm{d}v$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int 1\mathrm{d}v+\int -8v^{3}\mathrm{d}v+\int 16v^{7}\mathrm{d}v$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$\int 1\mathrm{d}v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

De integraal van 1 zoeken met behulp van de tabel met algemene integralen regel \int a\mathrm{d}v=av.

$$v-8\int v^{3}\mathrm{d}v+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Vervang \int v^{3}\mathrm{d}v door \frac{v^{4}}{4}, omdat \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig -8 met \frac{v^{4}}{4}.

$$v-2v^{4}+16\int v^{7}\mathrm{d}v$$

Vervang \int v^{7}\mathrm{d}v door \frac{v^{8}}{8}, omdat \int v^{k}\mathrm{d}v=\frac{v^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 16 met \frac{v^{8}}{8}.

$$v-2v^{4}+2v^{8}$$

De bepaalde integraal is de primitieve functie van de expressie geëvalueerd op de bovenste integratiegrens min de primitieve functie geëvalueerd op de onderste integratiegrens.

$$1-2\times 1^{4}+2\times 1^{8}-\left(0-2\times 0^{4}+2\times 0^{8}\right)$$

Vereenvoudig.

$$1$$