Los ∫ (from - 2 to 2) of (4x-x^3)^2 wrt x op

$$\int _ { - 2 } ^ { 2 } ( 4 x - x ^ { 3 } ) ^ { 2 } d x$$

Evalueren

$$\frac{2048}{105}\approx 19,504761905$$

Oplossingsstappen

Gebruik het binomium van Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} om \left(4x-x^{3}\right)^{2} uit te breiden.

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8xx^{3}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Als u machten met hetzelfde grondtal wilt vermenigvuldigen, telt u de bijbehorende exponenten bij elkaar op. Tel 1 en 3 op om 4 te krijgen.

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8x^{4}+\left(x^{3}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Als u de macht van een getal wilt verheffen tot de macht van een ander getal, vermenigvuldigt u de exponenten. Vermenigvuldig 3 en 2 om 6 te krijgen.

$$\int _{-2}^{2}16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Evalueer eerst de onbeperkte integraal.

$$\int 16x^{2}-8x^{4}+x^{6}\mathrm{d}x$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int 16x^{2}\mathrm{d}x+\int -8x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$16\int x^{2}\mathrm{d}x-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{2}\mathrm{d}x door \frac{x^{3}}{3}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 16 met \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-8\int x^{4}\mathrm{d}x+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{4}\mathrm{d}x door \frac{x^{5}}{5}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig -8 met \frac{x^{5}}{5}.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\int x^{6}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{6}\mathrm{d}x door \frac{x^{7}}{7}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1.

$$\frac{16x^{3}}{3}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{x^{7}}{7}$$

Vereenvoudig.

$$\frac{x^{7}}{7}-\frac{8x^{5}}{5}+\frac{16x^{3}}{3}$$

De bepaalde integraal is de primitieve functie van de expressie geëvalueerd op de bovenste integratiegrens min de primitieve functie geëvalueerd op de onderste integratiegrens.

$$\frac{2^{7}}{7}-\frac{8}{5}\times 2^{5}+\frac{16}{3}\times 2^{3}-\left(\frac{\left(-2\right)^{7}}{7}-\frac{8}{5}\left(-2\right)^{5}+\frac{16}{3}\left(-2\right)^{3}\right)$$

Vereenvoudig.

$$\frac{2048}{105}$$