Los ∫ (4x-x^2-2x)^2 wrt x op

$$\int ( 4 x - x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } d x$$

Evalueren

$$\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+\frac{4x^{3}}{3}+С$$

Oplossingsstappen

Combineer 4x en -2x om 2x te krijgen.

$$\int \left(2x-x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Gebruik het binomium van Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} om \left(2x-x^{2}\right)^{2} uit te breiden.

$$\int 4x^{2}-4xx^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Als u machten met hetzelfde grondtal wilt vermenigvuldigen, telt u de bijbehorende exponenten bij elkaar op. Tel 1 en 2 op om 3 te krijgen.

$$\int 4x^{2}-4x^{3}+\left(x^{2}\right)^{2}\mathrm{d}x$$

Als u de macht van een getal wilt verheffen tot de macht van een ander getal, vermenigvuldigt u de exponenten. Vermenigvuldig 2 en 2 om 4 te krijgen.

$$\int 4x^{2}-4x^{3}+x^{4}\mathrm{d}x$$

Integreer de som per voorwaarde.

$$\int 4x^{2}\mathrm{d}x+\int -4x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Factoriseer de constante in elk van de voorwaarden.

$$4\int x^{2}\mathrm{d}x-4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{2}\mathrm{d}x door \frac{x^{3}}{3}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig 4 met \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-4\int x^{3}\mathrm{d}x+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{3}\mathrm{d}x door \frac{x^{4}}{4}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1. Vermenigvuldig -4 met \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}+\int x^{4}\mathrm{d}x$$

Vervang \int x^{4}\mathrm{d}x door \frac{x^{5}}{5}, omdat \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} voor k\neq -1.

$$\frac{4x^{3}}{3}-x^{4}+\frac{x^{5}}{5}$$

Vereenvoudig.

$$\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+\frac{4x^{3}}{3}$$

Als F\left(x\right) een primitieve functie is van f\left(x\right), wordt de set van alle antiderivatives van f\left(x\right) gegeven door F\left(x\right)+C. Voeg daarom de constante van integratie C\in \mathrm{R} toe aan het resultaat.

$$\frac{x^{5}}{5}-x^{4}+\frac{4x^{3}}{3}+С$$

Differentieer ten opzichte van x

$$\left(x\left(x-2\right)\right)^{2}$$