Los x/7+y/3=5;-x/14+3y=26 op

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Oplossen voor x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 21, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 7,3.

$$3x+7y=105$$

Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 14.

$$-x+42y=364$$

Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$3x+7y=105$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 7y af.

$$3x=-7y+105$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Vermenigvuldig \frac{1}{3} met -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Substitueer -\frac{7y}{3}+35 voor x in de andere vergelijking: -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Vermenigvuldig -1 met -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Tel \frac{7y}{3} op bij 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 35 op.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Deel beide kanten van de vergelijking door \frac{133}{3}. Dit is hetzelfde is als beide kanten vermenigvuldigen met de omgekeerde waarde van de breuk.

$$y=9$$

Vervang 9 door y in x=-\frac{7}{3}y+35. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Vermenigvuldig -\frac{7}{3} met 9.

$$x=-21+35$$

Tel 35 op bij -21.

$$x=14$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=14,y=9$$

Stappen die gebruikmaken van matrices

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 21, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 7,3.

$$3x+7y=105$$

Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 14.

$$-x+42y=364$$

Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Schrijf de vergelijkingen als matrices.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Voor de 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), wordt de omgekeerde matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zodat de matrixvergelijking kan worden herschreven als een probleem met matrixvermeniging.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Herleid de matrixelementen x en y.

$$x=14,y=9$$

Stappen die gebruikmaken van eliminatie

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 21, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 7,3.

$$3x+7y=105$$

Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 14.

$$-x+42y=364$$

Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Als u 3x en -x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met -1 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Vereenvoudig.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Trek -3x+126y=1092 af van -3x-7y=-105 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Tel -3x op bij 3x. De termen -3x en 3x worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Tel -7y op bij -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Tel -105 op bij -1092.

$$-133y=-1197$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -133.

$$y=9$$

Vervang 9 door y in -x+42y=364. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$-x+42\times 9=364$$

Vermenigvuldig 42 met 9.

$$-x+378=364$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 378 af.

$$-x=-14$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -1.

$$x=14$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=14,y=9$$