Los x/5=y/4;y/3=x/3-1 op

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Oplossen voor x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 20, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 5,4.

$$4x=5y$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Vermenigvuldig \frac{1}{4} met 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Substitueer \frac{5y}{4} voor x in de andere vergelijking: -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Tel -\frac{5y}{4} op bij y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met -4.

$$y=12$$

Vervang 12 door y in x=\frac{5}{4}y. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Vermenigvuldig \frac{5}{4} met 12.

$$x=15$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=15,y=12$$

Stappen die gebruikmaken van matrices

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 20, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 5,4.

$$4x=5y$$

Trek aan beide kanten 5y af.

$$4x-5y=0$$

Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 3.

$$y=x-3$$

Trek aan beide kanten x af.

$$y-x=-3$$

Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Schrijf de vergelijkingen als matrices.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Voor de 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), wordt de omgekeerde matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zodat de matrixvergelijking kan worden herschreven als een probleem met matrixvermeniging.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Herleid de matrixelementen x en y.

$$x=15,y=12$$

Stappen die gebruikmaken van eliminatie

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 20, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 5,4.

$$4x=5y$$

Trek aan beide kanten 5y af.

$$4x-5y=0$$

Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 3.

$$y=x-3$$

Trek aan beide kanten x af.

$$y-x=-3$$

Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Als u 4x en -x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met -1 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Vereenvoudig.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Trek -4x+4y=-12 af van -4x+5y=0 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Tel -4x op bij 4x. De termen -4x en 4x worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.

$$5y-4y=12$$

Tel 5y op bij -4y.

$$y=12$$

Vervang 12 door y in -x+y=-3. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$-x+12=-3$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 12 af.

$$-x=-15$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -1.

$$x=15$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=15,y=12$$