Los x/3+y/4=4;x/2-y/4=1 op

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

Oplossen voor x, y

$$x=6$$

$$y=8$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 12, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 3,4.

$$4x+3y=48$$

Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 4, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 2,4.

$$2x-y=4$$

Als u een vergelijkingenpaar wilt oplossen met behulp van substitutie, lost u eerst één van de vergelijkingen op voor één van de variabelen. Substitueer vervolgens het resultaat voor deze variabele in de andere vergelijking.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Kies een van de vergelijkingen en los deze op voor x, door x te isoleren aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$4x+3y=48$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 3y af.

$$4x=-3y+48$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

Vermenigvuldig \frac{1}{4} met -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

Substitueer -\frac{3y}{4}+12 voor x in de andere vergelijking: 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

Vermenigvuldig 2 met -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

Tel -\frac{3y}{2} op bij -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 24 af.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

Deel beide kanten van de vergelijking door -\frac{5}{2}. Dit is hetzelfde is als beide kanten vermenigvuldigen met de omgekeerde waarde van de breuk.

$$y=8$$

Vervang 8 door y in x=-\frac{3}{4}y+12. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

Vermenigvuldig -\frac{3}{4} met 8.

$$x=-6+12$$

Tel 12 op bij -6.

$$x=6$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=6,y=8$$

Stappen die gebruikmaken van matrices

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 12, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 3,4.

$$4x+3y=48$$

Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 4, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 2,4.

$$2x-y=4$$

Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Schrijf de vergelijkingen als matrices.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Voor de 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), wordt de omgekeerde matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zodat de matrixvergelijking kan worden herschreven als een probleem met matrixvermeniging.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

Herleid de matrixelementen x en y.

$$x=6,y=8$$

Stappen die gebruikmaken van eliminatie

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 12, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 3,4.

$$4x+3y=48$$

Neem de tweede vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 4, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 2,4.

$$2x-y=4$$

Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

Als u 4x en 2x gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met 2 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

Vereenvoudig.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

Trek 8x-4y=16 af van 8x+6y=96 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

Tel 8x op bij -8x. De termen 8x en -8x worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.

$$6y+4y=96-16$$

Tel 6y op bij 4y.

$$10y=96-16$$

Tel 96 op bij -16.

$$10y=80$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 10.

$$y=8$$

Vervang 8 door y in 2x-y=4. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u x direct oplossen.

$$2x-8=4$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking 8 op.

$$2x=12$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 2.

$$x=6$$

Het systeem is nu opgelost.

$$x=6,y=8$$