Los f/11=g/33text{siendo}f+g=40 op

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Oplossen voor f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Stappen die gebruikmaken van substitutie

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 33, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 11,33.

$$3f=g$$

Deel beide zijden van de vergelijking door 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Substitueer \frac{g}{3} voor f in de andere vergelijking: f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Tel \frac{g}{3} op bij g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Deel beide kanten van de vergelijking door \frac{4}{3}. Dit is hetzelfde is als beide kanten vermenigvuldigen met de omgekeerde waarde van de breuk.

$$g=30$$

Vervang 30 door g in f=\frac{1}{3}g. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u f direct oplossen.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Vermenigvuldig \frac{1}{3} met 30.

$$f=10$$

Het systeem is nu opgelost.

$$f=10,g=30$$

Stappen die gebruikmaken van matrices

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 33, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 11,33.

$$3f=g$$

Trek aan beide kanten g af.

$$3f-g=0$$

Herorden de vergelijkingen in de standaardvorm en gebruik vervolgens matrices om het systeem van vergelijkingen op te lossen.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Schrijf de vergelijkingen als matrices.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de linkerkant van de vergelijking met de inverse matrix van \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Het product van een matrix en zijn inverse is de eenheidsmatrix.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices aan de linkerkant van het gelijkteken.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Voor de 2\times 2 matrix \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), wordt de omgekeerde matrix \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), zodat de matrixvergelijking kan worden herschreven als een probleem met matrixvermeniging.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Vermenigvuldig de matrices.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Voer de berekeningen uit.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Herleid de matrixelementen f en g.

$$f=10,g=30$$

Stappen die gebruikmaken van eliminatie

Neem de eerste vergelijking. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met 33, de kleinste gemeenschappelijke noemer van 11,33.

$$3f=g$$

Trek aan beide kanten g af.

$$3f-g=0$$

Als u wilt oplossen door eliminatie, moeten de coëfficiënten van een van de variabelen gelijk zijn in beide vergelijkingen, zodat de variabele wordt weggestreept wanneer de ene vergelijking wordt afgetrokken van de andere.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Als u 3f en f gelijk wilt maken, vermenigvuldigt u alle termen aan elke kant van de eerste vergelijking met 1 en alle termen aan elke kant van de tweede vergelijking met 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Vereenvoudig.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Trek 3f+3g=120 af van 3f-g=0 door gelijke termen aan elke kant van het gelijkteken af te trekken.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Tel 3f op bij -3f. De termen 3f en -3f worden tegen elkaar weggestreept. Hierdoor blijft er een oplosbare vergelijking met slechts één variabele over.

$$-g-3g=-120$$

Tel -g op bij -3g.

$$-4g=-120$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -4.

$$g=30$$

Vervang 30 door g in f+g=40. Omdat de resulterende vergelijking slechts één variabele bevat, kunt u f direct oplossen.

$$f+30=40$$

Trek aan beide kanten van de vergelijking 30 af.

$$f=10$$

Het systeem is nu opgelost.

$$f=10,g=30$$