Los frac{4+sqrt{5}}{4-sqrt{5}}+frac{4-sqrt{5}}{4+sqrt{5}} op

$$\frac { 4 + \sqrt { 5 } } { 4 - \sqrt { 5 } } + \frac { 4 - \sqrt { 5 } } { 4 + \sqrt { 5 } }$$

Evalueren

$$\frac{42}{11}\approx 3,818181818$$

Korte oplossingsstappen

Rationaliseer de noemer van \frac{4+\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} door teller en noemer te vermenigvuldigen met 4+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Houd rekening met \left(4-\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right). Vermenigvuldiging kan worden omgezet in het verschil tussen de kwadraten van de regel: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Bereken de wortel van 4. Bereken de wortel van \sqrt{5}.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{16-5}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Trek 5 af van 16 om 11 te krijgen.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4+\sqrt{5}\right)}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Vermenigvuldig 4+\sqrt{5} en 4+\sqrt{5} om \left(4+\sqrt{5}\right)^{2} te krijgen.

$$\frac{\left(4+\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Gebruik het binomium van Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} om \left(4+\sqrt{5}\right)^{2} uit te breiden.

$$\frac{16+8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Het kwadraat van \sqrt{5} is 5.

$$\frac{16+8\sqrt{5}+5}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Tel 16 en 5 op om 21 te krijgen.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}$$

Rationaliseer de noemer van \frac{4-\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}} door teller en noemer te vermenigvuldigen met 4-\sqrt{5}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{\left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}$$

Houd rekening met \left(4+\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right). Vermenigvuldiging kan worden omgezet in het verschil tussen de kwadraten van de regel: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Bereken de wortel van 4. Bereken de wortel van \sqrt{5}.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{16-5}$$

Trek 5 af van 16 om 11 te krijgen.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)\left(4-\sqrt{5}\right)}{11}$$

Vermenigvuldig 4-\sqrt{5} en 4-\sqrt{5} om \left(4-\sqrt{5}\right)^{2} te krijgen.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{\left(4-\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

Gebruik het binomium van Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} om \left(4-\sqrt{5}\right)^{2} uit te breiden.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{11}$$

Het kwadraat van \sqrt{5} is 5.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{16-8\sqrt{5}+5}{11}$$

Tel 16 en 5 op om 21 te krijgen.

$$\frac{21+8\sqrt{5}}{11}+\frac{21-8\sqrt{5}}{11}$$

Aangezien \frac{21+8\sqrt{5}}{11} en \frac{21-8\sqrt{5}}{11} dezelfde noemer hebben, kunt u ze toevoegen door hun tellers toe te voegen.

$$\frac{21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}}{11}$$

Voer de berekeningen uit in 21+8\sqrt{5}+21-8\sqrt{5}.

$$\frac{42}{11}$$

Factoriseren

$$\frac{2 \cdot 3 \cdot 7}{11} = 3\frac{9}{11} = 3,8181818181818183$$