Los 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1 op

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Oplossen voor x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Stappen die gebruikmaken van de kwadratische formule

Variabele x kan niet gelijk zijn aan de waarden -1,1 omdat deling door nul niet is gedefinieerd. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met \left(x-1\right)\left(x+1\right), de kleinste gemeenschappelijke noemer van x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Gebruik de distributieve eigenschap om x+1 te vermenigvuldigen met 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Combineer x en 2x om 3x te krijgen.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Tel -1 en 2 op om 1 te krijgen.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Trek aan beide kanten x^{2} af.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Trek aan beide kanten 2x af.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Combineer 3x en -2x om x te krijgen.

$$x+1-x^{2}=0$$

Alle vergelijkingen van de vorm ax^{2}+bx+c=0 kunnen worden opgelost met behulp van de kwadratische formule: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. De kwadratische formule biedt twee oplossingen: één wanneer ± een optelling is en één wanneer het gaat om aftrekken.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Deze vergelijking heeft de standaardvorm: ax^{2}+bx+c=0. Substitueer -1 voor a, 1 voor b en 1 voor c in de kwadratische formule, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Bereken de wortel van 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Vermenigvuldig -4 met -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Tel 1 op bij 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Vermenigvuldig 2 met -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} op als ± positief is. Tel -1 op bij \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Deel -1+\sqrt{5} door -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Los nu de vergelijking x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} op als ± negatief is. Trek \sqrt{5} af van -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Deel -1-\sqrt{5} door -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

De vergelijking is nu opgelost.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Stappen voor het voltooien van de vierkantswortel

Variabele x kan niet gelijk zijn aan de waarden -1,1 omdat deling door nul niet is gedefinieerd. Vermenigvuldig beide zijden van de vergelijking met \left(x-1\right)\left(x+1\right), de kleinste gemeenschappelijke noemer van x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Gebruik de distributieve eigenschap om x+1 te vermenigvuldigen met 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Combineer x en 2x om 3x te krijgen.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Tel -1 en 2 op om 1 te krijgen.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Trek aan beide kanten x^{2} af.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Trek aan beide kanten 2x af.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Combineer 3x en -2x om x te krijgen.

$$x+1-x^{2}=0$$

Trek aan beide kanten 1 af. Een waarde afgetrokken van nul retourneert de bijbehorende negatie.

$$x-x^{2}=-1$$

Kwadratische vergelijkingen zoals deze kunnen worden opgelost door de wortel te berekenen. Hiervoor moet de vergelijking deze vorm hebben: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Deel beide zijden van de vergelijking door -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Delen door -1 maakt de vermenigvuldiging met -1 ongedaan.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Deel 1 door -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Deel -1 door -1.

$$x^{2}-x=1$$

Deel -1, de coëfficiënt van de x term door 2 om -\frac{1}{2} op te halen. Voeg vervolgens het kwadraat van -\frac{1}{2} toe aan beide kanten van de vergelijking. Met deze stap wordt de linkerkant van de vergelijking een perfect vierkant.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Bereken de wortel van -\frac{1}{2} door de wortel te berekenen van zowel de teller als de noemer van de breuk.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Tel 1 op bij \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Factoriseer x^{2}-x+\frac{1}{4}. In het algemeen, wanneer x^{2}+bx+c een perfect vierkant is, kan het altijd worden gefactoreerd als \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Neem de vierkantswortel van beide zijden van de vergelijking.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Vereenvoudig.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Tel aan beide kanten van de vergelijking \frac{1}{2} op.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$