Los 1/2+sqrt{2}+1/3sqrt{2+2sqrt{3}}+1/4sqrt{3+3sqrt{4}} op

$$\frac { 1 } { 2 + \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } + 2 \sqrt { 3 } } + \frac { 1 } { 4 \sqrt { 3 } + 3 \sqrt { 4 } }$$

Evalueren

$$\frac{1}{2}=0,5$$

Korte oplossingsstappen

Rationaliseer de noemer van \frac{1}{2+\sqrt{2}} door teller en noemer te vermenigvuldigen met 2-\sqrt{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Houd rekening met \left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right). Vermenigvuldiging kan worden omgezet in het verschil tussen de kwadraten van de regel: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Bereken de wortel van 2. Bereken de wortel van \sqrt{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{4-2}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Trek 2 af van 4 om 2 te krijgen.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Rationaliseer de noemer van \frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}} door teller en noemer te vermenigvuldigen met 3\sqrt{2}-2\sqrt{3}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right)}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Houd rekening met \left(3\sqrt{2}+2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{2}-2\sqrt{3}\right). Vermenigvuldiging kan worden omgezet in het verschil tussen de kwadraten van de regel: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{\left(3\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Breid \left(3\sqrt{2}\right)^{2} uit.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{3^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Bereken 3 tot de macht van 2 en krijg 9.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{9\left(\sqrt{2}\right)^{2}-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Het kwadraat van \sqrt{2} is 2.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{9\times 2-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Vermenigvuldig 9 en 2 om 18 te krijgen.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Breid \left(2\sqrt{3}\right)^{2} uit.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Bereken 2 tot de macht van 2 en krijg 4.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Het kwadraat van \sqrt{3} is 3.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-4\times 3}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Vermenigvuldig 4 en 3 om 12 te krijgen.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-12}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Trek 12 af van 18 om 6 te krijgen.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}$$

Bereken de vierkantswortel van 4 en krijg 2.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\times 2}$$

Vermenigvuldig 3 en 2 om 6 te krijgen.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{1}{4\sqrt{3}+6}$$

Rationaliseer de noemer van \frac{1}{4\sqrt{3}+6} door teller en noemer te vermenigvuldigen met 4\sqrt{3}-6.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{\left(4\sqrt{3}+6\right)\left(4\sqrt{3}-6\right)}$$

Houd rekening met \left(4\sqrt{3}+6\right)\left(4\sqrt{3}-6\right). Vermenigvuldiging kan worden omgezet in het verschil tussen de kwadraten van de regel: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{\left(4\sqrt{3}\right)^{2}-6^{2}}$$

Breid \left(4\sqrt{3}\right)^{2} uit.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{4^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-6^{2}}$$

Bereken 4 tot de macht van 2 en krijg 16.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{16\left(\sqrt{3}\right)^{2}-6^{2}}$$

Het kwadraat van \sqrt{3} is 3.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{16\times 3-6^{2}}$$

Vermenigvuldig 16 en 3 om 48 te krijgen.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{48-6^{2}}$$

Bereken 6 tot de macht van 2 en krijg 36.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{48-36}$$

Trek 36 af van 48 om 12 te krijgen.

$$\frac{2-\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Vouw expressies uit en maak de bijbehorende noemers gelijk om expressies op te tellen of af te trekken. Kleinste gemene veelvoud van 2 en 6 is 6. Vermenigvuldig \frac{2-\sqrt{2}}{2} met \frac{3}{3}.

$$\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{6}+\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Aangezien \frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)}{6} en \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6} dezelfde noemer hebben, kunt u ze toevoegen door hun tellers toe te voegen.

$$\frac{3\left(2-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Voer de vermenigvuldigingen uit in 3\left(2-\sqrt{2}\right)+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}.

$$\frac{6-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Voer de berekeningen uit in 6-3\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{3}.

$$\frac{6-2\sqrt{3}}{6}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Vouw expressies uit en maak de bijbehorende noemers gelijk om expressies op te tellen of af te trekken. Kleinste gemene veelvoud van 6 en 12 is 12. Vermenigvuldig \frac{6-2\sqrt{3}}{6} met \frac{2}{2}.

$$\frac{2\left(6-2\sqrt{3}\right)}{12}+\frac{4\sqrt{3}-6}{12}$$

Aangezien \frac{2\left(6-2\sqrt{3}\right)}{12} en \frac{4\sqrt{3}-6}{12} dezelfde noemer hebben, kunt u ze toevoegen door hun tellers toe te voegen.

$$\frac{2\left(6-2\sqrt{3}\right)+4\sqrt{3}-6}{12}$$

Voer de vermenigvuldigingen uit in 2\left(6-2\sqrt{3}\right)+4\sqrt{3}-6.

$$\frac{12-4\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6}{12}$$

Voer de berekeningen uit in 12-4\sqrt{3}+4\sqrt{3}-6.

$$\frac{6}{12}$$

Vereenvoudig de breuk \frac{6}{12} tot de kleinste termen door 6 af te trekken en weg te strepen.

$$\frac{1}{2}$$

Factoriseren

$$\frac{1}{2} = 0,5$$