Issolvi xu+yv=1,quadx+y+u+v=0

$$x u + y v = 1 , \quad x + y + u + v = 0$$

Solvi għal x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v}\text{, }y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}\text{, }&u\neq v\\x=-\left(y+u+v\right)\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(v=\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ and }u=\frac{\sqrt{2}i}{2}\right)\text{ or }\left(v=-\frac{\sqrt{2}i}{2}\text{ and }u=-\frac{\sqrt{2}i}{2}\right)\end{matrix}\right.$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$ux+vy=1$$

Naqqas vy miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$ux=\left(-v\right)y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'u.

$$x=\frac{1}{u}\left(\left(-v\right)y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{u} b'-vy+1.

$$x=\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u}$$

Issostitwixxi \frac{-vy+1}{u} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y+u+v=0.

$$\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u}+y+u+v=0$$

Żid -\frac{vy}{u} ma' y.

$$\frac{u-v}{u}y+\frac{1}{u}+u+v=0$$

Żid \frac{1}{u} ma' u+v.

$$\frac{u-v}{u}y+u+v+\frac{1}{u}=0$$

Naqqas v+u+\frac{1}{u} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{u-v}{u}y=-u-v-\frac{1}{u}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'\frac{u-v}{u}.

$$y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

Issostitwixxi -\frac{1+uv+u^{2}}{u-v} għal y f'x=\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\left(-\frac{v}{u}\right)\left(-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}\right)+\frac{1}{u}$$

Immultiplika -\frac{v}{u} b'-\frac{1+uv+u^{2}}{u-v}.

$$x=\frac{v\left(u^{2}+uv+1\right)}{u\left(u-v\right)}+\frac{1}{u}$$

Żid \frac{1}{u} ma' \frac{v\left(1+uv+u^{2}\right)}{u\left(u-v\right)}.

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v},y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{u-v}&-\frac{v}{u-v}\\-\frac{1}{u-v}&\frac{u}{u-v}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{u-v}+\left(-\frac{v}{u-v}\right)\left(-\left(u+v\right)\right)\\-\frac{1}{u-v}+\frac{u}{u-v}\left(-\left(u+v\right)\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{uv+v^{2}+1}{u-v}\\-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v},y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

Biex tagħmel ux u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'u.

$$ux+vy=1,ux+uy+u\left(u+v\right)=0$$

Naqqas ux+uy+u\left(u+v\right)=0 minn ux+vy=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$ux+\left(-u\right)x+vy+\left(-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

Żid ux ma' -ux. ux u -ux jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$vy+\left(-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

Żid vy ma' -uy.

$$\left(v-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

Żid u\left(u+v\right) maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(v-u\right)y=u\left(u+v\right)+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'v-u.

$$y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$

Issostitwixxi \frac{1+u^{2}+uv}{v-u} għal y f'x+y+u+v=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}+u+v=0$$

Żid \frac{1+u^{2}+uv}{v-u} ma' u+v.

$$x+\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}=0$$

Naqqas \frac{v^{2}+vu+1}{v-u} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u},y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$

Solvi għal x, y

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}$$

$$y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$

$$u\neq v$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$ux+vy=1$$

Naqqas vy miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$ux=\left(-v\right)y+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'u.

$$x=\frac{1}{u}\left(\left(-v\right)y+1\right)$$

Immultiplika \frac{1}{u} b'-vy+1.

$$x=\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u}$$

Issostitwixxi \frac{-vy+1}{u} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+y+u+v=0.

$$\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u}+y+u+v=0$$

Żid -\frac{vy}{u} ma' y.

$$\frac{u-v}{u}y+\frac{1}{u}+u+v=0$$

Żid \frac{1}{u} ma' u+v.

$$\frac{u-v}{u}y+u+v+\frac{1}{u}=0$$

Naqqas v+u+\frac{1}{u} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{u-v}{u}y=-u-v-\frac{1}{u}$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'\frac{u-v}{u}.

$$y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

Issostitwixxi -\frac{1+vu+u^{2}}{u-v} għal y f'x=\left(-\frac{v}{u}\right)y+\frac{1}{u}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\left(-\frac{v}{u}\right)\left(-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}\right)+\frac{1}{u}$$

Immultiplika -\frac{v}{u} b'-\frac{1+vu+u^{2}}{u-v}.

$$x=\frac{v\left(u^{2}+uv+1\right)}{u\left(u-v\right)}+\frac{1}{u}$$

Żid \frac{1}{u} ma' \frac{v\left(1+vu+u^{2}\right)}{u\left(u-v\right)}.

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v},y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}u&v\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{u-v}&-\frac{v}{u-v}\\-\frac{1}{u-v}&\frac{u}{u-v}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-\left(u+v\right)\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{u-v}+\left(-\frac{v}{u-v}\right)\left(-\left(u+v\right)\right)\\-\frac{1}{u-v}+\frac{u}{u-v}\left(-\left(u+v\right)\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{uv+v^{2}+1}{u-v}\\-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{uv+v^{2}+1}{u-v},y=-\frac{u^{2}+uv+1}{u-v}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$ux+vy=1,x+y+u+v=0$$

Biex tagħmel ux u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'u.

$$ux+vy=1,ux+uy+u\left(u+v\right)=0$$

Naqqas ux+uy+u\left(u+v\right)=0 minn ux+vy=1 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$ux+\left(-u\right)x+vy+\left(-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

Żid ux ma' -ux. ux u -ux jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$vy+\left(-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

Żid vy ma' -uy.

$$\left(v-u\right)y-u\left(u+v\right)=1$$

Żid u\left(u+v\right) maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\left(v-u\right)y=u\left(u+v\right)+1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'v-u.

$$y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$

Issostitwixxi \frac{1+u^{2}+uv}{v-u} għal y f'x+y+u+v=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}+u+v=0$$

Żid \frac{1+u^{2}+uv}{v-u} ma' u+v.

$$x+\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}=0$$

Naqqas \frac{v^{2}+vu+1}{v-u} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-\frac{uv+v^{2}+1}{v-u},y=\frac{u^{2}+uv+1}{v-u}$$