Issolvi x^2+x+1+11/x^2+x-1=14

$$x ^ { 2 } + x + 1 + \frac { 11 } { x ^ { 2 } + x - 1 } = 14$$

Solvi għal x

$$x=-2$$

$$x=1$$

$$x=3$$

$$x=-4$$

Passi tas-Soluzzjonijiet

Immultiplika ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right).

$$\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Biex issib l-oppost ta' -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Biex issib l-oppost ta' \frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} b'x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} u kkombina termini simili.

$$\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Il-kwadrat ta' \sqrt{5} huwa 5.

$$\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} u 5 biex tikseb -\frac{5}{4}.

$$\left(x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Żid -\frac{5}{4} u \frac{1}{4} biex tikseb -1.

$$\left(x^{2}+x-1\right)x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika x^{2}+x-1 b'x^{2}.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Biex issib l-oppost ta' -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Biex issib l-oppost ta' \frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} b'x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} u kkombina termini simili.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Il-kwadrat ta' \sqrt{5} huwa 5.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} u 5 biex tikseb -\frac{5}{4}.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Żid -\frac{5}{4} u \frac{1}{4} biex tikseb -1.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+\left(x^{2}+x-1\right)x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika x^{2}+x-1 b'x.

$$x^{4}+x^{3}-x^{2}+x^{3}+x^{2}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Ikkombina x^{3} u x^{3} biex tikseb 2x^{3}.

$$x^{4}+2x^{3}-x^{2}+x^{2}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Ikkombina -x^{2} u x^{2} biex tikseb 0.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Biex issib l-oppost ta' -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Biex issib l-oppost ta' \frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$x^{4}+2x^{3}-x+\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} b'x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} u kkombina termini simili.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Il-kwadrat ta' \sqrt{5} huwa 5.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Immultiplika -\frac{1}{4} u 5 biex tikseb -\frac{5}{4}.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Żid -\frac{5}{4} u \frac{1}{4} biex tikseb -1.

$$x^{4}+2x^{3}-x+x^{2}+x-1+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Ikkombina -x u x biex tikseb 0.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}-1+11=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Żid -1 u 11 biex tikseb 10.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Biex issib l-oppost ta' -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Biex issib l-oppost ta' \frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, sib l-oppost ta' kull terminu.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14\left(x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 14 b'x+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=\left(14x+7\sqrt{5}+7\right)\left(x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)$$

Uża l-propjetà distributtiva biex timmultiplika 14x+7\sqrt{5}+7 b'x-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} u kkombina termini simili.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{7}{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{7}{2}$$

Il-kwadrat ta' \sqrt{5} huwa 5.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{7}{2}\times 5+\frac{7}{2}$$

Immultiplika -\frac{7}{2} u 5 biex tikseb -\frac{35}{2}.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-\frac{35}{2}+\frac{7}{2}$$

Żid -\frac{35}{2} u \frac{7}{2} biex tikseb -14.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10=14x^{2}+14x-14$$

Naqqas 14x^{2} miż-żewġ naħat.

$$x^{4}+2x^{3}+x^{2}+10-14x^{2}=14x-14$$

Ikkombina x^{2} u -14x^{2} biex tikseb -13x^{2}.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10=14x-14$$

Naqqas 14x miż-żewġ naħat.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10-14x=-14$$

Żid 14 maż-żewġ naħat.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+10-14x+14=0$$

Żid 10 u 14 biex tikseb 24.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}+24-14x=0$$

Irranġa mill-ġdid l-ekwazzjoni biex tqiegħda fil-forma standard. Qiegħed it-termini f'ordni mill-ogħla qawwa għall-aktar baxxa.

$$x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24=0$$

Skont it-Teorema tar-Radikali Razzjonali, ir-radikali razzjonali kollha tal-polynomial huma fil-forma \frac{p}{q}, fejn p taqsam il-terminu kostanti 24 u q taqsam il-koeffiċjent prinċipali 1. Elenka l-kandidati kollha \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Sib radiċi waħda bħal din billi tipprova l-valuri integri kollha, billi tibda mill-iżgħar skont il-valur assolut. Jekk ma tinstab l-ebda radiċi tan-numru integru, ipprova l-frazzjonijiet.

$$x=1$$

Bit-teorema tal-Fattur, x-k hija fattur tal-polynomial għal kull għerq k. Iddividi x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+24 b'x-1 biex tiksebx^{3}+3x^{2}-10x-24. Solvi l-ekwazzjoni fejn ir-riżultat huwa ugwali għal 0.

$$x^{3}+3x^{2}-10x-24=0$$

Skont it-Teorema tar-Radikali Razzjonali, ir-radikali razzjonali kollha tal-polynomial huma fil-forma \frac{p}{q}, fejn p taqsam il-terminu kostanti -24 u q taqsam il-koeffiċjent prinċipali 1. Elenka l-kandidati kollha \frac{p}{q}.

$$±24,±12,±8,±6,±4,±3,±2,±1$$

Sib radiċi waħda bħal din billi tipprova l-valuri integri kollha, billi tibda mill-iżgħar skont il-valur assolut. Jekk ma tinstab l-ebda radiċi tan-numru integru, ipprova l-frazzjonijiet.

$$x=-2$$

Bit-teorema tal-Fattur, x-k hija fattur tal-polynomial għal kull għerq k. Iddividi x^{3}+3x^{2}-10x-24 b'x+2 biex tiksebx^{2}+x-12. Solvi l-ekwazzjoni fejn ir-riżultat huwa ugwali għal 0.

$$x^{2}+x-12=0$$

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti billi tuża l-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostitut 1 għal a, 1 għal b, u -12 għal c fil-formula kwadratika.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-12\right)}}{2}$$

Agħmel il-kalkoli.

$$x=\frac{-1±7}{2}$$

Solvi l-ekwazzjoni x^{2}+x-12=0 meta ± hija plus u meta ± hija minus.

$$x=-4 x=3$$

Elenka s-soluzzjonijiet kollha misjuba.

$$x=1 x=-2 x=-4 x=3$$