Issolvi x+3y=7,2x+y+1=0

$$x + 3 y = 7,2 x + y + 1 = 0$$

Solvi għal x, y

$$x=-2$$

$$y=3$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$x+3y=7,2x+y+1=0$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$x+3y=7$$

Naqqas 3y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-3y+7$$

Issostitwixxi -3y+7 għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, 2x+y+1=0.

$$2\left(-3y+7\right)+y+1=0$$

Immultiplika 2 b'-3y+7.

$$-6y+14+y+1=0$$

Żid -6y ma' y.

$$-5y+14+1=0$$

Żid 14 ma' 1.

$$-5y+15=0$$

Naqqas 15 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-5y=-15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-5.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'x=-3y+7. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-3\times 3+7$$

Immultiplika -3 b'3.

$$x=-9+7$$

Żid 7 ma' -9.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$x+3y=7,2x+y+1=0$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\times 2}&-\frac{3}{1-3\times 2}\\-\frac{2}{1-3\times 2}&\frac{1}{1-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\-1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 7+\frac{3}{5}\left(-1\right)\\\frac{2}{5}\times 7-\frac{1}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=-2,y=3$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$x+3y=7,2x+y+1=0$$

Biex tagħmel x u 2x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'2 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'1.

$$2x+2\times 3y=2\times 7,2x+y+1=0$$

Issimplifika.

$$2x+6y=14,2x+y+1=0$$

Naqqas 2x+y+1=0 minn 2x+6y=14 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$2x-2x+6y-y-1=14$$

Żid 2x ma' -2x. 2x u -2x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$6y-y-1=14$$

Żid 6y ma' -y.

$$5y-1=14$$

Żid 1 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5y=15$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$y=3$$

Issostitwixxi 3 għal y f'2x+y+1=0. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$2x+3+1=0$$

Żid 3 ma' 1.

$$2x+4=0$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$2x=-4$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'2.

$$x=-2$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=-2,y=3$$