Issolvi n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Solvi għal n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Passi li jużaw il-Fatturar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffattura n^{2}-11n-60 billi tuża l-formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa negattiv, in-numru negattiv għandu l-valur assolut akbar mill-pożittiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -11.

$$a=-15 b=4$$

Erġa' ikteb l-espressjoni ffatturata \left(n+a\right)\left(n+b\right) billi tuża l-valuri miksuba.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi n-15=0 u n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala n^{2}+an+bn-60. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa negattiv, in-numru negattiv għandu l-valur assolut akbar mill-pożittiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -11.

$$a=-15 b=4$$

Erġa' ikteb n^{2}-11n-60 bħala \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Fattur n fl-ewwel u 4 fit-tieni grupp.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni n-15 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi n-15=0 u n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 1 għal a, -11 għal b, u -60 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Ikkwadra -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Immultiplika -4 b'-60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Żid 121 ma' 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

L-oppost ta' -11 huwa 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni n=\frac{11±19}{2} fejn ± hija plus. Żid 11 ma' 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Iddividi 30 b'2.

$$n=15$$

Issa solvi l-ekwazzjoni n=\frac{11±19}{2} fejn ± hija minus. Naqqas 19 minn 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Iddividi -8 b'2.

$$n=-4$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$n=15 n=-4$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Żid 60 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Jekk tnaqqas -60 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Naqqas -60 minn 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Iddividi -11, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{11}{2}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{11}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{11}{2} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Żid 60 ma' \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Fattur n^{2}-11n+\frac{121}{4}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Issimplifika.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Żid \frac{11}{2} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$n=15 n=-4$$