Issolvi 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Solvi għal y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 9 għal a, -12 għal b, u 2 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Ikkwadra -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Immultiplika -4 b'9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Immultiplika -36 b'2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Żid 144 ma' -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

L-oppost ta' -12 huwa 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Immultiplika 2 b'9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} fejn ± hija plus. Żid 12 ma' 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Iddividi 12+6\sqrt{2} b'18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} fejn ± hija minus. Naqqas 6\sqrt{2} minn 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Iddividi 12-6\sqrt{2} b'18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Naqqas 2 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Jekk tnaqqas 2 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Meta tiddividi b'9 titneħħa l-multiplikazzjoni b'9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-12}{9} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Iddividi -\frac{4}{3}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{2}{3}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{2}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{2}{3} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Żid -\frac{2}{9} ma' \frac{4}{9} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Fattur y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Issimplifika.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Żid \frac{2}{3} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$