Issolvi 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Solvi għal n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Naqqas 3n^{2} miż-żewġ naħat.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Ikkombina 9n^{2} u -3n^{2} biex tikseb 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 6n^{2}+an+bn+20. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa negattiv, a u b huma t-tnejn negattiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -23.

$$a=-15 b=-8$$

Erġa' ikteb 6n^{2}-23n+20 bħala \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Fattur 3n fl-ewwel u -4 fit-tieni grupp.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni 2n-5 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi 2n-5=0 u 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

Naqqas 3n^{2} miż-żewġ naħat.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Ikkombina 9n^{2} u -3n^{2} biex tikseb 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 6 għal a, -23 għal b, u 20 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Ikkwadra -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Immultiplika -4 b'6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Immultiplika -24 b'20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Żid 529 ma' -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

L-oppost ta' -23 huwa 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Immultiplika 2 b'6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni n=\frac{23±7}{12} fejn ± hija plus. Żid 23 ma' 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{30}{12} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni n=\frac{23±7}{12} fejn ± hija minus. Naqqas 7 minn 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{16}{12} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Naqqas 3n^{2} miż-żewġ naħat.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Ikkombina 9n^{2} u -3n^{2} biex tikseb 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Naqqas 20 miż-żewġ naħat. Xi ħaġa mnaqqsa minn żero tagħti numru negattiv.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Meta tiddividi b'6 titneħħa l-multiplikazzjoni b'6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-20}{6} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Iddividi -\frac{23}{6}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{23}{12}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{23}{12} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{23}{12} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Żid -\frac{10}{3} ma' \frac{529}{144} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Fattur n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Issimplifika.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Żid \frac{23}{12} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$