Issolvi 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Solvi għal x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0.285714286+0.24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0.285714286-0.24743583i$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 7 għal a, 4 għal b, u 1 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Ikkwadra 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Immultiplika -4 b'7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Żid 16 ma' -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Immultiplika 2 b'7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} fejn ± hija plus. Żid -4 ma' 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Iddividi -4+2i\sqrt{3} b'14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} fejn ± hija minus. Naqqas 2i\sqrt{3} minn -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Iddividi -4-2i\sqrt{3} b'14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Jekk tnaqqas 1 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Meta tiddividi b'7 titneħħa l-multiplikazzjoni b'7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Iddividi \frac{4}{7}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{2}{7}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{2}{7} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{2}{7} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Żid -\frac{1}{7} ma' \frac{4}{49} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Fattur x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Naqqas \frac{2}{7} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$