Issolvi 6x+9y=9text{and}-6x+6y=1

$$6 x + 9 y = 9 \text { and } - 6 x + 6 y = 1$$

Solvi għal x, y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$6x+9y=9$$

Naqqas 9y miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x=-9y+9$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-9y+9\right)$$

Immultiplika \frac{1}{6} b'-9y+9.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}$$

Issostitwixxi \frac{-3y+3}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, -6x+6y=1.

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}\right)+6y=1$$

Immultiplika -6 b'\frac{-3y+3}{2}.

$$9y-9+6y=1$$

Żid 9y ma' 6y.

$$15y-9=1$$

Żid 9 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$15y=10$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'15.

$$y=\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi \frac{2}{3} għal y f'x=-\frac{3}{2}y+\frac{3}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=-\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}+\frac{3}{2}$$

Immultiplika -\frac{3}{2} b'\frac{2}{3} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=-1+\frac{3}{2}$$

Żid \frac{3}{2} ma' -1.

$$x=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&9\\-6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-9\left(-6\right)}&-\frac{9}{6\times 6-9\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{6\times 6-9\left(-6\right)}&\frac{6}{6\times 6-9\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\1\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 9-\frac{1}{10}\\\frac{1}{15}\times 9+\frac{1}{15}\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$6x+9y=9,-6x+6y=1$$

Biex tagħmel 6x u -6x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'-6 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'6.

$$-6\times 6x-6\times 9y=-6\times 9,6\left(-6\right)x+6\times 6y=6$$

Issimplifika.

$$-36x-54y=-54,-36x+36y=6$$

Naqqas -36x+36y=6 minn -36x-54y=-54 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$-36x+36x-54y-36y=-54-6$$

Żid -36x ma' 36x. -36x u 36x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-54y-36y=-54-6$$

Żid -54y ma' -36y.

$$-90y=-54-6$$

Żid -54 ma' -6.

$$-90y=-60$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-90.

$$y=\frac{2}{3}$$

Issostitwixxi \frac{2}{3} għal y f'-6x+6y=1. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$-6x+6\times \frac{2}{3}=1$$

Immultiplika 6 b'\frac{2}{3}.

$$-6x+4=1$$

Naqqas 4 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$-6x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=\frac{1}{2},y=\frac{2}{3}$$