Issolvi 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Solvi għal x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 6x^{2}+ax+bx+3. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Minħabba li ab huwa pożittiv, a u b għandhom l-istess sinjal. Minħabba li a+b huwa pożittiv, a u b huma t-tnejn pożittivi. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma 11.

$$a=2 b=9$$

Erġa' ikteb 6x^{2}+11x+3 bħala \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Fattur 2x fl-ewwel u 3 fit-tieni grupp.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni 3x+1 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi 3x+1=0 u 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 6 għal a, 11 għal b, u 3 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Ikkwadra 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Immultiplika -4 b'6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Immultiplika -24 b'3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Żid 121 ma' -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Immultiplika 2 b'6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-11±7}{12} fejn ± hija plus. Żid -11 ma' 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-4}{12} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-11±7}{12} fejn ± hija minus. Naqqas 7 minn -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-18}{12} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Naqqas 3 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Jekk tnaqqas 3 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Meta tiddividi b'6 titneħħa l-multiplikazzjoni b'6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-3}{6} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Iddividi \frac{11}{6}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{11}{12}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{11}{12} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{11}{12} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Żid -\frac{1}{2} ma' \frac{121}{144} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Fattur x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Naqqas \frac{11}{12} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$