Issolvi 5x^2-x-120=0

$$5 x ^ { 2 } - x - 120 = 0$$

Solvi għal x

$$x = -\frac{24}{5} = -4\frac{4}{5} = -4.8$$

$$x=5$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 5x^{2}+ax+bx-120. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-1 ab=5\left(-120\right)=-600$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa negattiv, in-numru negattiv għandu l-valur assolut akbar mill-pożittiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -1.

$$a=-25 b=24$$

Erġa' ikteb 5x^{2}-x-120 bħala \left(5x^{2}-25x\right)+\left(24x-120\right).

$$\left(5x^{2}-25x\right)+\left(24x-120\right)$$

Fattur 5x fl-ewwel u 24 fit-tieni grupp.

$$5x\left(x-5\right)+24\left(x-5\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni x-5 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(x-5\right)\left(5x+24\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi x-5=0 u 5x+24=0.

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$5x^{2}-x-120=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 5 għal a, -1 għal b, u -120 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 5\left(-120\right)}}{2\times 5}$$

Immultiplika -4 b'5.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-20\left(-120\right)}}{2\times 5}$$

Immultiplika -20 b'-120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+2400}}{2\times 5}$$

Żid 1 ma' 2400.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{2401}}{2\times 5}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 2401.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±49}{2\times 5}$$

L-oppost ta' -1 huwa 1.

$$x=\frac{1±49}{2\times 5}$$

Immultiplika 2 b'5.

$$x=\frac{1±49}{10}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{1±49}{10} fejn ± hija plus. Żid 1 ma' 49.

$$x=\frac{50}{10}$$

Iddividi 50 b'10.

$$x=5$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{1±49}{10} fejn ± hija minus. Naqqas 49 minn 1.

$$x=-\frac{48}{10}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-48}{10} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 2.

$$x=-\frac{24}{5}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-x-120=0$$

Żid 120 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x^{2}-x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Jekk tnaqqas -120 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$5x^{2}-x=-\left(-120\right)$$

Naqqas -120 minn 0.

$$5x^{2}-x=120$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$\frac{5x^{2}-x}{5}=\frac{120}{5}$$

Meta tiddividi b'5 titneħħa l-multiplikazzjoni b'5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{120}{5}$$

Iddividi 120 b'5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=24$$

Iddividi -\frac{1}{5}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{1}{10}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{1}{10} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=24+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{1}{10} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=24+\frac{1}{100}$$

Żid 24 ma' \frac{1}{100}.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{2401}{100}$$

Fattur x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{2401}{100}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{100}}$$

Issimplifika.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{49}{10} x-\frac{1}{10}=-\frac{49}{10}$$

Żid \frac{1}{10} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=5 x=-\frac{24}{5}$$