Issolvi 5x^2+3x+1=0

$$5 x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 0$$

Solvi għal x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}\approx -0.3+0.331662479i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}\approx -0.3-0.331662479i$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 5 għal a, 3 għal b, u 1 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Ikkwadra 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2\times 5}$$

Immultiplika -4 b'5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2\times 5}$$

Żid 9 ma' -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2\times 5}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2\times 5}$$

Immultiplika 2 b'5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} fejn ± hija plus. Żid -3 ma' i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{10} fejn ± hija minus. Naqqas i\sqrt{11} minn -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x+1=0$$

Naqqas 1 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$5x^{2}+3x+1-1=-1$$

Jekk tnaqqas 1 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$5x^{2}+3x=-1$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=-\frac{1}{5}$$

Meta tiddividi b'5 titneħħa l-multiplikazzjoni b'5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Iddividi \frac{3}{5}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb \frac{3}{10}. Imbagħad żid il-kwadru ta' \frac{3}{10} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Ikkwadra \frac{3}{10} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{100}$$

Żid -\frac{1}{5} ma' \frac{9}{100} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{11}{100}$$

Fattur x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{11}{100}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{100}}$$

Issimplifika.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{11}i}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{11}i}{10}$$

Naqqas \frac{3}{10} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{10} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{10}$$