Issolvi 42x^2-5x-3=0

$$42 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

Solvi għal x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0.214285714$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

Passi li jużaw il-Fatturar bl-Iggruppar

Biex issolvi l-ekwazzjoni, iffatura n-naħa tax-xellug bl-iggruppar. L-ewwel, in-naħa tax-xellug jeħtieġ tinkiteb mill-ġdid bħala 42x^{2}+ax+bx-3. Biex issib a u b, ikkonfigura sistema biex tiġi solvuta.

$$a+b=-5 ab=42\left(-3\right)=-126$$

Minħabba li ab huwa negattiv, a u b għandhom sinjali opposti. Minħabba li a+b huwa negattiv, in-numru negattiv għandu l-valur assolut akbar mill-pożittiv. Elenka l-pari kollha bħal dawn li jagħtu prodott -126.

$$1,-126 2,-63 3,-42 6,-21 7,-18 9,-14$$

Ikkalkula s-somma għal kull par.

$$1-126=-125 2-63=-61 3-42=-39 6-21=-15 7-18=-11 9-14=-5$$

Is-soluzzjoni hija l-par li jagħti s-somma -5.

$$a=-14 b=9$$

Erġa' ikteb 42x^{2}-5x-3 bħala \left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right).

$$\left(42x^{2}-14x\right)+\left(9x-3\right)$$

Fattur 14x fl-ewwel u 3 fit-tieni grupp.

$$14x\left(3x-1\right)+3\left(3x-1\right)$$

Iffattura 'l barra t-terminu komuni 3x-1 bl-użu ta' propjetà distributtiva.

$$\left(3x-1\right)\left(14x+3\right)$$

Biex issib soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni, solvi 3x-1=0 u 14x+3=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Passi għall-Użu tal-Formula Kwadratika

L-ekwazzjonijiet kollha tal-formola ax^{2}+bx+c=0 jistgħu jiġu solvuti permezz tal-formula kwadratika: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Il-formula kwadratika tagħti żewġ soluzzjonijiet, waħda meta ± hija addizzjoni u waħda meta hija tnaqqis.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Din l-ekwazzjoni hija fil-forma standard: ax^{2}+bx+c=0. Issostitwixxi 42 għal a, -5 għal b, u -3 għal c fil-formula kwadratika, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Ikkwadra -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 42\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Immultiplika -4 b'42.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-168\left(-3\right)}}{2\times 42}$$

Immultiplika -168 b'-3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+504}}{2\times 42}$$

Żid 25 ma' 504.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{529}}{2\times 42}$$

Ħu l-għerq kwadrat ta' 529.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±23}{2\times 42}$$

L-oppost ta' -5 huwa 5.

$$x=\frac{5±23}{2\times 42}$$

Immultiplika 2 b'42.

$$x=\frac{5±23}{84}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{5±23}{84} fejn ± hija plus. Żid 5 ma' 23.

$$x=\frac{28}{84}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{28}{84} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 28.

$$x=\frac{1}{3}$$

Issa solvi l-ekwazzjoni x=\frac{5±23}{84} fejn ± hija minus. Naqqas 23 minn 5.

$$x=-\frac{18}{84}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{-18}{84} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 6.

$$x=-\frac{3}{14}$$

L-ekwazzjoni issa solvuta.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$

Passi biex Tikkompleta l-Kwadrat

Ekwazzjonijiet kwadratiċi bħal din jistgħu jiġu solvuti billi tikkompleta l-kwadrat. Sabiex tikkompleta l-kwadrat, l-ekwazzjoni l-ewwel trid tkun fil-forma x^{2}+bx=c.

$$42x^{2}-5x-3=0$$

Żid 3 maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$42x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Jekk tnaqqas -3 minnu nnifsu jibqa' 0.

$$42x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

Naqqas -3 minn 0.

$$42x^{2}-5x=3$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'42.

$$\frac{42x^{2}-5x}{42}=\frac{3}{42}$$

Meta tiddividi b'42 titneħħa l-multiplikazzjoni b'42.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{3}{42}$$

Naqqas il-frazzjoni \frac{3}{42} għat-termini l-aktar baxxi billi testratta u tikkanċella barra 3.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x=\frac{1}{14}$$

Iddividi -\frac{5}{42}, il-koeffiċjent tat-terminu x, b'2 biex tikseb -\frac{5}{84}. Imbagħad żid il-kwadru ta' -\frac{5}{84} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni. Dan il-pass jagħmel in-naħa tax-xellug tal-ekwazzjoni kwadru perfett.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(-\frac{5}{84}\right)^{2}$$

Ikkwadra -\frac{5}{84} billi tikkwadra kemm in-numeratur u d-denominatur tal-frazzjoni.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{1}{14}+\frac{25}{7056}$$

Żid \frac{1}{14} ma' \frac{25}{7056} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}=\frac{529}{7056}$$

Fattur x^{2}-\frac{5}{42}x+\frac{25}{7056}. B'mod ġenerali, meta x^{2}+bx+c huwa kwadru perfett, dejjem jista' jiġu fatturati bħala \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}=\frac{529}{7056}$$

Ħu l-għerq kwadrat taż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{84}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{7056}}$$

Issimplifika.

$$x-\frac{5}{84}=\frac{23}{84} x-\frac{5}{84}=-\frac{23}{84}$$

Żid \frac{5}{84} maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{3}{14}$$