Issolvi 4x-5y=2text{and}x+10y=41

$$4 x - 5 y = 2 \text { and } x + 10 y = 41$$

Solvi għal x, y

$$x=5$$

$$y = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5} = 3.6$$

Passi għall-Użu tas-Sostituzzjoni

Biex issolvi par ta' ekwazzjonijiet bl-użu tas-sostituzzjoni, l-ewwel solvi waħda mill-ekwazzjonijiet għal waħda tal-varjabbli. Imbagħad issostitwixxi r-riżultat għal dak il-varjabbli fl-ekwazzjoni l-oħra.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Agħżel waħda mill-ekwazzjonijiet u solviha għal x billi tiżola x fuq in-naħa tax-xellug tal-sinjal tal-ugwali.

$$4x-5y=2$$

Żid 5y maż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$4x=5y+2$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+2\right)$$

Immultiplika \frac{1}{4} b'5y+2.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}$$

Issostitwixxi \frac{5y}{4}+\frac{1}{2} għal x fl-ekwazzjoni l-oħra, x+10y=41.

$$\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}+10y=41$$

Żid \frac{5y}{4} ma' 10y.

$$\frac{45}{4}y+\frac{1}{2}=41$$

Naqqas \frac{1}{2} miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$\frac{45}{4}y=\frac{81}{2}$$

Iddividi ż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni b'\frac{45}{4}, li hija l-istess bħal multiplikazzjoni taż-żewġ naħat bir-reċiproku tal-frazzjoni.

$$y=\frac{18}{5}$$

Issostitwixxi \frac{18}{5} għal y f'x=\frac{5}{4}y+\frac{1}{2}. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x=\frac{5}{4}\times \frac{18}{5}+\frac{1}{2}$$

Immultiplika \frac{5}{4} b'\frac{18}{5} billi timmultiplika n-numeratur bin-numeratur u d-denominatur bid-denominatur. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għall-inqas termini jekk possibbli.

$$x=\frac{9+1}{2}$$

Żid \frac{1}{2} ma' \frac{9}{2} biex issib id-denominatur komuni u żżid in-numeraturi. Imbagħad naqqas il-frazzjoni għat-termini l-aktar baxxi jekk possibbli.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Matriċijiet

Qiegħed l-ekwazzjonijiet f'forma standard u mbagħad uża l-matriċijiet biex issolvi s-sistema tal-ekwazzjonijiet.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Ikteb l-ekwazzjonijiet f'forma ta' matriċi.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Immultiplika bix-xellug l-ekwazzjoni skont il-matriċi inversa ta' \left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Il-prodott ta' matriċi u l-invers tiegħu huwa l-matriċi tal-identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet fuq in-naħa tax-xellug tas-sinjal equals.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\1&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Għall-matriċi 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), il-matriċi inversa hija \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), għalhekk l-ekwazzjoni tal-matriċi tista' terġa' tiġi miktuba bħala problema tal-multiplikazzjoni tal-matriċi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{4\times 10-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{4\times 10-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{4\times 10-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\times 10-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{45}&\frac{4}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\41\end{matrix}\right)$$

Immultiplika l-matriċijiet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 2+\frac{1}{9}\times 41\\-\frac{1}{45}\times 2+\frac{4}{45}\times 41\end{matrix}\right)$$

Agħmel l-aritmetika.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{18}{5}\end{matrix}\right)$$

Estratta l-elementi tal-matriċi x u y.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$

Passi għall-Użu ta' Eliminazzjoni

Sabiex insolvu bl-eliminazzjoni, il-koeffiċjenti ta' wieħed mill-varjabbli jrid ikun l-istess fiż-żewġ ekwazzjonijiet sabiex il-varjabbli jikkanċella meta ekwazzjoni waħda titnaqqas mill-oħra.

$$4x-5y=2,x+10y=41$$

Biex tagħmel 4x u x ugwali, immultiplika t-termini kollha fuq kull naħa tal-ewwel ekwazzjoni b'1 u t-termini kollha fuq kull naħa tat-tieni b'4.

$$4x-5y=2,4x+4\times 10y=4\times 41$$

Issimplifika.

$$4x-5y=2,4x+40y=164$$

Naqqas 4x+40y=164 minn 4x-5y=2 billi tnaqqas l-istess termini fuq kull naħa tas-sinjal equals.

$$4x-4x-5y-40y=2-164$$

Żid 4x ma' -4x. 4x u -4x jannullaw lil xulxin, biex iħallu ekwazzjoni b'varjabbli waħda li tista' tiġi solvuta.

$$-5y-40y=2-164$$

Żid -5y ma' -40y.

$$-45y=2-164$$

Żid 2 ma' -164.

$$-45y=-162$$

Iddividi ż-żewġ naħat b'-45.

$$y=\frac{18}{5}$$

Issostitwixxi \frac{18}{5} għal y f'x+10y=41. Billi l-ekwazzjoni riżultanti fiha biss varjabbli waħda, tista' ssolvi għal x direttament.

$$x+10\times \frac{18}{5}=41$$

Immultiplika 10 b'\frac{18}{5}.

$$x+36=41$$

Naqqas 36 miż-żewġ naħat tal-ekwazzjoni.

$$x=5$$

Is-sistema issa solvuta.

$$x=5,y=\frac{18}{5}$$